Hallo Ihr Lieben,
nachdem wir uns nun in zäher Kleinarbeit die zahlentheoretischen Grundlagen der Mandelbrotmenge, ihre Definition, die vielen Fragen rund um die für sie maßgebenden Visualisierungstechniken und zu guter Letzt ihre bestechende Ästhetik zusammen mit einigen ihrer vielen faszinierenden Eigenschaften erschlossen haben, möchte ich gerne – wie am Ende des achten Teils meiner Blogbeitrag-Serie zur Mandelbrotmenge angekündigt – zum Abschluss noch ein paar Worte darüber verlieren, welche Geschichte hinter der Entdeckung der Mandelbrotmenge steht und welche Bedeutung diese Entdeckung mit all ihren Implikationen für die Mathematik im Speziellen aber auch unsere Weltsicht im Allgemeinen hatte und immer noch hat. Natürlich gäbe noch unfassbar viel mehr Interessantes zur Mandelbrotmenge selbst und all ihren Eigenschaften zu erzählen. Ich muss allerdings feststellen, dass der Zuspruch zu meiner Beitragsserie doch auffällig geringer ausgefallen ist als derjenige zu Beiträgen, die nicht so sehr auf Nerd-spezifisches Fachwissen abzielen. Das, was ich also mit „unfassbar viel mehr Interessantes“ meine, ist daher vermutlich nicht für jeden von Euch unbedingt so unfassbar interessant. Nichtsdestotrotz möchte ich, bevor ich auf Geschichte und Bedeutung der Mandelbrotmenge zu sprechen komme, noch auf zwei YouTube-Beiträge hinweisen, denen ich im Zusammenhang mit der Mandelbrotmenge unlängst begegnet bin:
Beim Ersten handelt es sich um eine, wie ich finde, extrem interessante, humorvolle und didaktisch geradezu vorbildlich aufgebaute Einführung von Burkard Polster in die Mechanik der Mandelbrotmenge namens „The dark side of the Mandelbrot set“ („Die dunkle Seite der Mandelbrotmenge“), bei der so Manches in einer Art und Weise thematisiert wird, die ich so noch nicht gesehen habe. Insbesondere wird darin nach meinem Dafürhalten sehr anschaulich dargelegt, wie es zu der im vorangegangen Beitrag meiner Serie erläuterten charakteristischen Anzahl an Attraktoren in der Hauptkardioide und den Kopfkreisen des Apfelmännchens kommt:
Als zweites wollte ich Euch auf einen sensationellen Zoom aufmerksam machen, bei dem die gesamte Ästhetik der Mandelbrotmenge nochmals so richtig zur Geltung kommt. Es handelt sich um eine mit Beleuchtung und Texturen aufgepeppte und in 4k-Auflösung aufbereitete Reise durch die Mandelbrotmenge, bei der viele der in den vorangegangenen Teilen meiner Serie besprochenen Eigenschaften des Apfelmännchens nochmals in aller Schönheit zum Ausdruck gelangen. Die sphärisch-meditative Hintergrundmusik tut dabei ein Übriges, um das ästhetische Erlebnis zu vervollständigen:
Migration und Faszination
Lasst uns dazu eine kleine Zeitreise in die polnische Hauptstadt Warschau zur Zeit der zweiten Polnischen Republik machen, also in jene kurze Phase zwischen den beiden Weltkriegen, in der Warschau als Kulturstadt eine ungeahnte Blütezeit erlebte. Just in diesen Jahren – nämlich am 20. November 1924 – erblickte Benoît Mandelbrot als Sohn des Textilhändlers Karl Mandelbrojt und der Dentalchirurgin Bella Mandelbrot (geborene Lurie) in der aufblühenden Kulturmetropole das Licht der Welt. Beide Elternteile waren akademisch geprägt – Bella als Medizinerin sowieso aber auch Karl als Abkömmling einer traditionell akademischen Familie, in der allerdings auch so mancher der vielen Akademiker mittellos geblieben war, weswegen sich Karl zur Sicherung seiner materiellen Existenz pragmatischer Weise entschieden hatte, sich als Textilhändler zu verdingen. Bildung und Wissenschaft hatten aber weiterhin einen hohen Stellenwert in Mandelbrots Elternhaus. Dennoch besuchte der junge Benoît die Schule in Warschau nur sporadisch, weil seine Mutter ihn – vermutlich aufgrund ihrer beruflichen Verbundenheit mit der Medizin – aus Angst vor seinerzeit grassierenden Epidemien so gut es ging von der Schule fernzuhalten versuchte.
Um dem ausgeprägten Interesse seiner Eltern an einer soliden Bildung des jungen Benoît trotzdem gerecht zu werden, wurde zunächst der seinerzeit arbeitslose Ehemann von Karls Schwester Helena Loterman (geborene Mandelbrojt) rekrutiert, um Benoît häuslichen Unterricht zu erteilen. Onkel Loterman soll dem kleinen Benoît insbesondere Schach und Kartenlesen beigebracht haben. Dabei zeigte sich offenbar schon recht früh, dass Benoît über eine ungewöhnlich hohe Lesegeschwindigkeit verfügte.
Im Jahre 1936 emigrierte der erst zwölfjährige Benoît mit seinen Eltern nach Paris, wohin Karls Bruder Szolem Mandelbrojt schon 1920 gezogen war und es im Jahre 1929 immerhin schon zum Professor für Mathematik an der Universität von Clermont-Ferrand gebracht hatte. Benoît besuchte in Paris zunächst das Lycée Rolin-Gymnasium, bevor die Familie mit Ausbruch des zweiten Weltkriegs nach Tulle zog, um dem Besatzungsregime der Nazis zu entfliehen. Aus Angst davor, als Juden von missgünstigen, opportunistischen Nachbarn an die Nazi-Kollaborateure des Vichy-Regimes verraten zu werden, hielt sich die Familie in dieser Zeit von den Großstädten fern, so dass der junge Benoît sich in überwiegend autodidaktisch weiterbildete. In seiner Autobiografie schildert Benoît Mandelbrot diesen Lebensabschnitt als eine Zeit fortwährender Angst vor Denunziation durch sein soziales Umfeld.
Offenbar ist es bei Benoît jedoch auch in dieser Zeit – nicht zuletzt durch den Einfluss seines Onkels Szolem Mandelbrojt – zu einem verstärkten Interesse an Mathematik gekommen, so dass Benoît unmittelbar nach der Vertreibung der Nazi-Besatzer aus Paris noch im Jahre 1944 dorthin zurückkehrte und sich sowohl für eine Aufnahme an der Ecole Normale Supérieure als auch an der Ecole Polytechnique qualifizierte. Er begann sein Studium in der Tat dann auch im Jahre 1945 vorübergehend an der Ecole Normale Supérieure, wechselte aber nach nur wenigen Tagen an die Ecole Polytechnique, wo er unter anderem bei Gaston Julia und Paul Lévy studierte und im Jahre 1947 seinen Abschluss als „Ingénieur diplômé“ machte.
Das Zusammentreffen mit Gaston Julia hatte prägenden Einfluss auf Benoît, denn es handelte sich just um jenen Gaston Julia, der die nach ihm benannten Julia-Mengen erforscht hatte – mathematische Konstrukte, die eng mit der Mandelbrot-Menge verwandt sind (dazu weiter unten mehr). Seine weitere akademische Laufbahn führte Mandelbrot dann in den Jahren 1947 bis 1949 an das California Institute of Technology, wo er erfolgreich seinen Master-Titel in Aeronautik erlangte. Anschließend kehrte er im Jahre 1949 wieder nach Paris zurück, um nur drei Jahre später seinen Doktortitel in Mathematikwissenschaften an der Université de Paris („Sorbonne“) zu erhalten.
Gesponsert von niemand geringerem als dem Informatik-Pionier Jon von Neumann verbrachte Mandelbrot dann die Jahre 1953 und 1954 an der Princeton University. Im Jahre 1955 zog Mandelbrot mit seiner kurz zuvor geheirateten Frau Aliette Kagan vorübergehend nach Genf, um jedoch nur kurze Zeit später einen Lehrauftrag an der Université Lille Nord de France anzunehmen. Doch auch dort hielt es Mandelbrot nicht lange, so dass er 1958 wieder zurück in die Vereinigten Staaten zog, wo er sich schließlich für die nächsten 35 Jahre seines Lebens dem „IBM Thomas J. Watson Research Center“ in New York anschloss.
Monster und Signalstörungen
Im Jahre 1961 beschäftigte man sich bei IBM vermehrt mit der Idee, digitale Signale über Telefonleitungen zu übertragen. Bei den zugehörigen Experimenten stellte man jedoch fest, dass es bestimmte Störsignale auf den Testleitungen gab, durch die es immer wieder zu Unterbrechungen der Datenübertragungen kam. Mandelbrot erhielt in diesem Zusammenhang die Aufgabe, die Störsignale zu analysieren und ihrer Ursache auf die Schliche zu kommen.
Vermutlich war es Mandelbrots oben bereits erwähnte, anhand von Stadt- und Landkarten früh entwickelte Affinität zu bildhaften Darstellungen, die es ihm ermöglichte, eben jenen besonderen Blick für visuelle Zusammenhänge in seine Untersuchungen einfließen zu lassen. Jedenfalls begann er, sich die Muster der Störsignale genauer anzusehen und stellte dabei fest, dass die Folge von gestörten und und ungestörten Übertragungszeiten ein ganz bestimmtes Muster aufwies. Dieses Muster blieb dabei auch dann erhalten, wenn er sich den Verlauf der Störungen in immer kürzer werdenden Zeitintervallen betrachtete. Soll heißen: ein und dasselbe Muster aus gestörten und ungestörten Übertragungsabschnitten erschien über den Verlauf eines Tages, aber ebenso über den Verlauf einer Stunde, Einer Minute, einer Sekunde und eines beliebigen Sekundenbruchteils:
Bei dieser Beobachtung klingelte etwas in Mandelbrots Hinterkopf: er erinnerte sich an die sogenannten „geometrischen Monster“, auf die ihn schon sein Onkel Szolem Mandelbrojt aufmerksam gemacht hatte. Es handelte sich um mathematische Konstruktionen, die im späten neunzehnten Jahrhundert erdacht worden waren und sich damals sämtlichen zeitgenössischen Vorstellungen von Geometrie zu entziehen schienen, was sie aus zeitgenössischer Sicht eben gerade als „Monster“ qualifizierte.
Die einfachste Form eines solches „Monsters“ war die nach dem 1845 in St. Petersburg geborenen, deutschstämmigen Mathematiker Georg Cantor benannte „Cantor-Menge“ (wir sind Cantor übrigens schon einmal in meinem Beitrag zu den Reellen Zahlen im Zusammenhang mit seiner dort erwähnten Diagonalisierung begegnet). Sie entsteht, indem man von einer einfachen Linie ausgeht:
Diese Line teilt man anschließend in drei gleichgroße Segmente:
Nun entfernt man das mittlere Segment:
Jetzt schnappt man sich die beiden verbleibenden Segmente und teilt sie selbst wiederum in je drei gleichgroße Untersegmente:
Man entfernt jetzt wieder jeweils das mittlere Untersegment:
Auch die so verbleibenden Segmente teilt man jeweils in drei gleichgroße Segmente…
…und entfernt das jeweils Mittlere davon:
Diesen Prozess denkt man sich nun unendlich lange fortgesetzt. Es entsteht auf diese Weise eine unendliche Folge von Strichmustern, die immer wieder Auftaucht, egal wie tief man sozusagen in einen dieser Striche „hineinzoomt“:
Wir sind diesem Phänomen schon im vorangegangenen Beitrag dieser Serie unter dem Begriff „Selbstähnlichkeit“ begegnet. Und genau dieses Selbstähnlichkeitsphänomen war es, das Mandelbrot bei den Mustern der Störsignale wiedererkannte. Sollte das etwa bedeuten, dass die unter Mathematikern als esoterisch geltenden „geometrischen Monster“ plötzlich sogar ganz reale Phänomene beschreiben?
Die englische Küste und Fraktale
Dieser mögliche Zusammenhang zwischen den von ihrer charakteristischen Selbstähnlichkeit geprägten „geometrischen Monstern“ und real existierenden Phänomenen ließ Mandelbrot seitdem nicht mehr los. Und tatsächlich stieß er im Jahre 1967 erneut auf ein artverwandtes Problem, als er das sogenannte „Küstenlinienparadoxon“ des 1881 in Newcastle upon Tyne geborenen britischen Mathematikers Lewis Fry Richardson untersuchte. Dieser hatte nämlich herausgefunden, dass es nicht ohne Weiteres möglich ist, die Länge einer Küstenlinie exakt zu messen. Am Beispiel der britischen Inseln, das später von Mandelbrot in seinem berühmt gewordenen Aufsatz „How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension“ („Wie lang ist die Küste Britanniens? Statistische Selbstähnlichkeit und fraktionale Dimension“) verwendet wurde, lässt sich das recht offensichtlich erkennen:
Im linken Bild versucht man, den Umfang der Küstenlinie Britanniens mit Hilfe von 200 Kilometer langen Stäben zu umschließen. Man beginnt mit dem roten Stab ganz oben, der zwei beliebige, 200km voneinander entfernte Punkte der Küste verbindet. Dann setzt man an das eine Ende dieses Stabs den nächsten 200km-langen Stab und dreht ihn solange, bis sein anderes Ende die Küste berührt. So verfährt man dann mit weiteren 200km-Stäben, bis man wieder beim ursprünglichen Stab angelangt ist. Es ergibt sich dabei, dass man rund zwölf Stäbe benötigt und somit auf eine Küstenlänge von ca. 2.400km kommt.
Im mittleren Bild, wird dasselbe Vorgehen mit 100km-langen Stäben gezeigt. Davon braucht man immerhin schon rund 28 Stück und kommt somit plötzlich auf eine Küstenlänge von ca. 2.800km. Vollzieht man, wie im rechten Bild zu sehen, das Ganze mit nur 50km-langen Stäben, braucht man derer rund 68 und kommt somit auf eine Küstenlänge von ca. 3.400km.
Tatsächlich wird die Küstenlinie also immer länger, je kürzer die Stäbe sind, die man verwendet. Der Grund dafür ist im Wesentlichen die unendliche „Rauhheit“ der Küstenlinie: egal wie klein man den Abschnitt der Küstenlinie wählt: sie besteht nie aus glatten Linien sondern immer und immer wieder aus gezackten Strukturen.
Als sich Mandelbrot mit dieser Beobachtung zu beschäftigen begann, kam ihm insbesondere die Koch-Flocke in den Sinn, die ich im vorangegangenen Beitrag dieser Beitragsserie vorgestellt habe. Ihr erinnert Euch noch: das war die Sache mit den gleichseitigen Dreiecken, deren Seiten immer wieder aufs Neue in drei Segmente zerlegt wurden, von denen das Mittlere dann jeweils durch eine gleichseitige Dreiecksspitze ersetzt wurde:
Auch die Koch-Flocke ist eines dieser klassischen „geometrischen Monster“. Mandelbrot wurde also erneut in seiner Vermutung bestärkt, dass diese „Monster“ als adäquates mathematisches Modell für natürliche Phänomene herhalten können, die man mit herkömmlicher Geometrie nicht angemessen beschreiben kann.
Als Antwort auf diese Erkenntnisse entwickelte Mandelbrot schließlich eine von ihm erstmals im Jahre 1975 als „fraktal“ bezeichnete Geometrie und prägte dazu sein berühmtes Paradigma:
„Wolken sind keine Kugeln, Berge sind keine Kegel, Küstenlinien sind keine Kreise und weder ist Rinde glatt noch breiten sich Blitze gradlinig aus.“
Mit Mandelbrots „fraktaler Geometrie“ entstand also zum ersten Mal ein adäquates mathematisches Modell für die Beschreibung „rauer“ Objekte, die mit herkömmlichen geometrischen Methoden bis dahin nicht beschreibbar waren. Die oben betrachtete Küstenlinie Britanniens ist dabei ebenso ein solches „raues“ Objekt, wie eine Wolke, die Orographie einer Berglandschaft oder die Form einer Broccoli-Knolle.
All diese Objekte sind dadurch charakterisiert, dass sie aus lauter kleineren Strukturen bestehen, die in sich wieder aus noch kleineren Strukturen bestehen und so weiter – bis in alle Unendlichkeit. Für solche Objekte sind daher auch die Dimensionen der herkömmlichen Geometrie nicht mehr adäquat, denn sie bestehen auch bei stärkster Vergrößerung niemals aus „glatten“ Elementen. In diesem Zusammenhang entwickelte Mandelbrot daher insbesondere den Begriff der „fraktalen Dimension“, eine Art Maß für die Rauheit einer gegebenen fraktalen Struktur. Das kann man sich in etwa so vorstellen:
Während die herkömmliche Geometrie nur ganzzahlige Dimensionen kennt, also etwa „eindimensional“ (1d), „zweidimensional“ (2d) oder „dreidimensional“ (3d), können fraktale Dimensionen im Allgemeinen auch zwischen diesen herkömmlichen Dimensionen liegen. Der Rand der oben nochmals dargestellten Koch-Flocke hat beispielsweise die fraktale Dimension 1,26186 und liegt damit zwischen „eindimensional“ (also linienförmig) und „zweidimensional“ (also flächig). Das liegt im Wesentlichen an seiner unendlich fortgesetzten Rauhheit (es gibt auch bei unendlicher Vergrößerung beliebiger Randabschnitte keine Linien ohne Knick) , durch die der an sich linienförmig erscheinende Rand keine eigentliche Linie mehr ist, sondern vielmehr eine gewisses Maß an Ausdehnung in die Fläche erhält. Der Rand der Mandelbrotmenge hat dagegen die fraktale Dimension 2 und ist damit de facto flächig. Das mag überraschend klingen, aber wenn Ihr Euch an die extreme Komplexität des Mandelbrotmengen-Randes erinnert, erscheint es dann doch irgendwie wieder plausibel.
Das große Kompendium seiner fraktalen Geometrie inklusive des mit ihr zusammenhängenden Begriffs der fraktalen Dimension, vor allem aber den Bezug dieser Geometrie zu realen Objekten und Phänomenen aller Art hat Mandelbrot in seinem wohl wichtigsten Werk „The Fractal Geometry of Nature“ („Die fraktale Geometrie der Natur“) niedergelegt. Das ist wahrlich kein Buch zum eben mal Herumschmökern, aber allemal ein Zeugnis der enormen Leistung, die Mandelbrot für die Mathematik fraktaler Strukturen und damit für die Mathematik an sich erbracht hat.
Juliamengen und Visualisierung
In den späten 1970er Jahren beschäftigte sich Mandelbrot bereits intensiv mit jenen mathematischen Modellen zur Beschreibung fraktaler Strukturen – immer auch auf der Suche nach Anwendungen solcher Modelle auf reale Objekte. Dabei besann er sich auf seine alten Lehrmeister Gaston Julia und Paul Lévy aus seiner Zeit an der Ecole Polytechnique in den 1940er Jahren. Insbesondere Gaston Julia hatte sich mit der fortgesetzten Hintereinanderanwendung einfacher quadratischer Funktionen auf ihre eigenen Ergebnisse beschäftigt und dabei die später nach ihm benannten „Juliamengen“ eingeführt.
Um diese Juliamengen effizienter studieren zu können, nutzte Mandelbrot die unbestreitbaren Vorteile seiner Anstellung bei IBM, die vor allem darin bestanden, dass er Zugang zu den schnellsten Rechnern seiner Zeit hatte und sich somit die Auswirkungen verschiedener Parameteränderungen auf das visuelle Erscheinungsbild der entsprechend parametrisierten Juliamengen in bis dahin ungeahnter Geschwindigkeit darstellen lassen konnte:
Visuell geprägt, wie Mandelbrot es nun einmal war, gewann er dabei die Erkenntnis, dass die Mengen bestimmte geometrische Eigenschaften haben, die entscheidend von der Wahl der Startparameter für die fortgesetzten Hintereinanderausführungen der zugrundeliegenden quadratischen Funktionen abhängen. Um diese Abhängigkeiten genauer zu ergründen, ließ er sich im Jahre 1979 – ebenfalls von den seinerzeit unschlagbar schnellen IBM-Rechnern – die geometrische Verteilung der verschiedenen Startparameter in der komplexen Ebene visualisieren. Das Ergebnis ist Geschichte: er hatte die später nach ihm benannte Mandelbrotmenge entdeckt.
(„Komplexe Ebene“ – da war doch was? Richtig, das hatten wir mal im fünften Teil meiner hiesigen Beitragsserie…)
Jedenfalls wurde die Mandelbrotmenge aufgrund ihrer Entstehungsgeschichte schnell zum Vorzeigebeispiel einer neuen Art, Mathematik zu betreiben: man nutzt die Rechenleistung und Visualisierungstechniken moderner Datenverarbeitungssysteme, um anhand der so berechneten Darstellungen Zusammenhänge und Systematiken zu ergründen, die sich aus der bloßen Betrachtung der mathematischen Formeln schlichtweg nicht erschließen. Damit wurde eine ganz eigene, rechnergestützte Form der experimentellen Mathematik begründet, für welche die Entdeckung der Mandelbrotmenge geradezu paradigmatisch ist.
Dementsprechend tauchten Mandelbrots Fraktal-Visualisierungen in den frühen 1980er Jahren in allen möglichen Computerzeitschriften und populärwissenschaftlichen Veröffentlichungen auf, zierten Nerd-T-Shrits, inspirierten Künstler und Musiker und wurden so zur Ikone einer neuen, computergestützt entstandenen Weltsicht, in der sich selbst die komplexesten Gebilde scheinbar auf einfache mathematische Gesetzmäßigkeiten zurückführen ließen. Fraktale hielten zudem sowohl technisch als auch begrifflich Einzug in die Welt der Computerspiele. Nie werde ich den Moment vergessen, als ich in meinen zarten Teenager-Computer-Kid-Tagen zum ersten Mal mit eigenen Augen den 3D-Flug über die fraktal generierte Landschaft einer fiktiven Planetenoberfläche im 1984 erscheinen Lucasfilm-Games-Klassiker „Rescue on Fractalus!“ auf dem guten alten Atari XL eines Freundes erblickte:
Die programmiertechnische Meisterleistung, die sich in diesem Spiel offenbarte, kann nur verstehen, wer die Leistungsgrenzen eines 8bit-Rechners aus den 1980er Jahren vor Augen hat. State-of-the-art Computerspiele auf solchen Rechnern sahen nämlich normalerweise so aus:
Man kann sich das etwa so vorstellen: die Rechenleistung der damaligen 8bit-Homecomputer wird selbst vom billigsten heute am Markt erhältlichen Handy um mehrere Zehnerpotenzen übertroffen.
Jedenfalls hieß der fiktive Planet, auf dem man in „Rescue on Fractalus!“ gestrandete Piloten zu retten hatte, nicht ohne Grund „Fractalus“ und die Berglandschaft, so pixelig sie aus heutiger Sicht auch erscheinen mag, wurde auf dem lächerlich schwachbrüstigen 6502-Prozessor des alten Ataris in Echtzeit mit Hilfe fraktaler Berechnungsformeln generiert. Leute: das war damals nicht weniger als eine informationstechnologische Offenbarung! Ich ziehe auch heute noch meinen Hut vor David Fox und seinem Team, die wirklich das letzte Quäntchen Rechenleistung aus dem 8bit-Urgestein herausgeholt haben.
Übrigens, für alle von Euch, die so etwas spannend finden sollten: es gibt da tatsächlich einen ehrgeizigen australischen Alt-Nerd aus der 8-bittigen Pionierzeit der Computertechnologie namens „Luke Arnold“, der aus purem Selbstzweck ein liebevoll gestaltetes zeitgemäßes Remake von „Rescue on Fractalus!“ auf der vor allem für Smartphone-Spiele bekannten „Unity-Engine“ programmiert hat. Das sieht dann ungefähr so aus:
Ich denke, man kann daran ganz gut erkennen, welche Fortschritte die Computertechnologie seit 1984 gemacht hat. Die Berglandschaft wird übrigens auch in diesem Remake auf Basis fraktaler Algorithmen in Echtzeit berechnet. Mandelbrot sei Dank.
Populäres Chaos
Aber Mandelbrots Arbeiten haben natürlich weit mehr bewirkt, als nur Kunst und Unterhaltungsindustrie mit computergenerierter Ästhetik bzw. futuristischen Landschaftsformationen zu befeuern. Tatsächlich findet sich etwa eine bemerkenswerte Verwandschaft zwischen der Mandelbrotmenge und einer anderen Disziplin, die nahezu zeitgleich mit Mandelbrots Fraktalen ins Bewusstsein der Öffentlichkeit gerückt ist: die Chaosforschung. Auch sie ist letztlich ein Kind des Computerzeitalters, denn erst mit Hilfe leistungsfähiger Rechnersysteme wurde es möglich, mathematische Modelle für chaotische Systeme sinnvoll auf ihre Eigenschaften hin zu untersuchen.
Dabei bezeichnet man ein System als chaotisch, wenn die Beziehung zwischen Ursachen und Wirkung innerhalb des Systems nicht mehr dem sogenannten Prinzip der „starken Kausalität“ folgt. Um zu verstehen, was damit gemeint ist, bietet es sich an, das allgemein bekannte Prinzip der „schwachen Kausalität“ zu rekapitulieren, das da lautet;
„Gleiche Ursachen haben gleiche Wirkungen“
Unsere gesamte Alltagserfahrung folgt diesem schwachen Kausalitätsprinzip. Wenn ich bei laufendem Motor und eingelegter Fahrstufe aufs Gaspedal meines Autos drücke, beschleunigt es. Das kann ich beliebig oft reproduzieren (natürlich nur bis der Treibstoff alle ist oder ein Defekt auftritt – aber von solchen Ausnahmefällen wollen wir hier mal geflissentlich abstrahieren). Wenn ich den Lichtschalter auf „ein“ schiebe, geht das Licht an. Das ist absolut verlässlich wiederhol- und vorhersehbar (jaja – es sei denn, der Strom fällt aus oder das Leuchtmittel brennt durch. Schon gut).
Dass unsere Alltagserfahrung dem Prinzip der schwachen Kausalität folgt, ist auch kein Zufall. Es ist (bis auf gewisse Aspekte der Quantenmechanik) das universelle Prinzip allen wissenschaftlichen Arbeitens. Keine Wissenschafts- oder Ingenieurdisziplinen wäre ohne dieses Prinzip denkbar, denn erst die schwache Kausalität erlaubt es uns, auf Basis modellhafter Überlegungen und Berechnungen Vorhersagen über reale Phänomene zu machen. Sie steht gewissermaßen für das gemeinhin anerkannte Postulat, dass unsere Welt ausschließlich deterministischen Gesetzmäßigkeiten folgt (sieht man mal, wie gesagt, von quantenmechanischen Spezialfällen und natürlich dem Willensbildungsprozess einer Frau ab).
Etwas weniger selbstverständlich ist dagegen das Prinzip der „starken Kausalität“, das da lautet:
„Ähnliche Ursachen haben ähnliche Wirkungen“
Auch das kennen wir aus vielen alltäglichen Erfahrungen. Wenn man einen Tennisball wirft, landet er in einer gewissen Entfernung vom Werfer auf dem Boden. Wirft man in fester, landet er weiter weg. Wirft man ihn hingegen weniger fest, landet eher entsprechend näher. Die Wirkungen (hier die Entfernungen, in welchen der Ball auf den Boden trifft) ändern sich in diesem Beispiel auf ähnliche Weise wie die Ursachen (hier die Würfe mit verschiedenen Kräften).
Auch die starke Kausalität wird den meisten wissenschaftlichen und technischen Überlegungen zugrundegelegt, denn man muss immer in gewissem Umfang von der Komplexität der realen Welt abstrahieren, um noch sinnvolle Modellrechnungen für Vorhersagen über eben jene reale Welt durchführen zu können. Das geht aber nur, wenn die Kausalitäten in der realen Welt in diesem Sinne „robust“ sind – wenn es also für die errechnete Wirkung auf gewisse Feinheiten der für sie verantwortlichen Ursachen nicht wesentlich ankommt.
Das ist aber in der Realität nicht immer so. Betrachten wir dazu ein einfaches Experiment:
Wir lassen eine Kugel durch ein enges Loch auf die Spitze eines dreieckigen Körpers fallen und fragen uns, auf welcher Seite sie herunterrollen wird – links oder rechts? Es ist offensichtlich, dass schon kleinste Abweichungen der Ausgangslage zwischen mehreren Würfen zu vollkommen unterschiedlichen Ergebnissen führen werden. Daher erhalten wir also schon bei kleinsten Änderungen der Ursache vollkommen unterschiedliche Wirkungen, so dass das Prinzip der starken Kausalität hier nicht mehr gilt.
Gilt dann aber immer noch das Prinzip der schwachen Kausalität? Ja, tut es. Wenn wir die Kugel wirklich unter den exakt gleichen Bedingungen von exakt derselben Position aus fallen lassen, wird sie immer auf exakt derselben Seite des Dreiecks landen. Unsere Welt bleibt also auch weiterhin deterministisch. Es ist nur in der Praxis fast unmöglich, diese Exaktheit einzuhalten, so dass die fehlende starke Kausalität hier zum Problem für die Vorhersagbarkeit der Laufrichtung unserer Kugel wird.
Systeme wie das obige, bei denen das Prinzip der starken Kausalität nicht mehr anwendbar ist, werden als „chaotische Systeme“ bezeichnet und sind zentraler Gegenstand der Chaosforschung. Der Zusammenhang zwischen Fraktalen wie der Mandelbrotmenge und besagter Chaosforschung ergibt sich dabei aus den mathematischen Modellen, mit deren Hilfe man versucht, das Verhalten bestimmter chaotischer Systeme zu beschreiben. Betrachten wir dazu die folgende Erweiterung unseres obigen Experiments:
Wir haben hier eine Kaskade aus lauter Dreieckskörpern angeordnet, in die ganz oben wiederum eine Kugel durch ein enges Loch fallen gelassen wird, die jeweils an beiden Enden des Dreieckskörpers auf die Spitze des nächsten Dreieckskörpers treffen kann. Am Ende der Kaskade fällt die Kugel dann in einen von mehreren Behältern – je nachdem, welchen Weg sie durch die Kaskade genommen hat. So etwas nennt man gerne auch „Galtonbrett“ und derartige Anordnungen werden meist als Lehrbeispiele für kombinatorische Betrachtungen im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeitsrechnung benutzt.
In unserem Fall jedoch soll das Galtonbrett als Sinnbild für die fortgesetzte Hintereinanderausführung unseres obigen Einzelexperiments herhalten. Dabei wird das jeweils nächste Einzelexperiment offensichtlich immer auf das Ergebnis des jeweils vorangegangenen Einzelexperiments angewendet.
Moment mal – fortgesetzte Hintereinanderausführung auf Basis des jeweils zuletzt entstandenen Ergebnisses? Da klingelt doch was…
Bingo! Genau das haben wir mit dem im sechsten Teil dieser Beitragsserie vorgestellten Mandelbrot-Transformator gemacht:
Wir haben immer wieder dieselbe Berechnungsformel auf das jeweilige Ergebnis der vorangegangenen Anwendung dieser Formel angewendet. Im achten Teil dieser Beitragsserie haben wir dieses Vorgehen zudem mit dem „Stille-Post“-Prinzip verglichen, bei dem die fortgesetzte Anwendung einer im Einzelnen noch recht einfachen Veränderung nach genügend vielen Durchläufen dieser Art zu vollkommen unvorhersehbaren Ergebnissen führt:
Und genau hier treffen Chaosforschung und Fraktale nach der Art der Mandelbrotmenge aufeinander: auch in der Chaosforschung betrachtet man Einzelvorgänge, deren fortgesetzte Anwendung auf das jeweilige Ergebnis des vorangegangenen Experimentdurchlaufs über kurz oder lang zu vollkommen unvorhersehbaren Resultaten führt. Alle modernen Wetter- und Klimamodelle basieren letztlich auf diesem Prinzip. Und gerade weil es sich dabei um chaotische Systeme handelt, sind die Vorhersagen dieser Modelle oft unzureichend. Das weiß jeder, der schon einmal versucht hat, anhand der Wettervorhersage verlässlich zu ermitteln, ob es zwei Tage später um 15:00 Uhr in einem bestimmten Stadtteil regnen wird.
Dass die Chaosforschung quasi zeitgleich mit der fraktalen Geometrie zu enormer Popularität gefunden hat, ist letztlich der seinerzeit erstmalig gegebenen Verfügbarkeit hinreichend schneller Rechnersysteme zu verdanken, denn erst durch die Rechenleistung damaliger Datenverarbeitungsanlagen konnte die Brauchbarkeit der mathematischen Modelle für chaotische Systeme experimentell überprüft werden. Anfang der 1990er Jahre war die Chaosforschung daher so populär, dass sie 1993 sogar in Gestalt des von Jeff Goldblum 
verkörperten Chaosforschers „Dr. Ian Malcolm“ in Steven Spielbergs Blockbuster „Jurassic Park“ Einzug gehalten hat. Dr. Malcolm stand dabei für die mahnende Stimme, die immer wieder vor der Unvorhersagbarkeit der Folgen derart massiver Eingriffe in die Natur gewarnt hat und damit angesichts des völlig außer Kontrolle geratenen Geschehens im Jurassic Park auf dramatische Weise recht behalten sollte.
Fraktale Finanzwelt
Nun ja, die von Mandelbrot postulierte fraktale Geometrie mag viele Phänomene in unserer realen Welt adäquater Beschreiben als die traditionelle Geometrie, und auch die Chaosforschung hat zweifellos ihre Bedeutung für unsere reale Welt. Wir wissen jetzt, dass Romanesco-Pflanzen und Wolken mit fraktalen Ausdrucksmitteln ebenso präziser beschrieben werden können, wie die Länge der britannischen Küstenlinie. Aber das ging ja doch auch schon vor Mandelbrot für unseren täglichen Bedarf gut genug. Und dass uns mit der Chaosforschung nunmehr wohlfundierte Ausdrucksmittel zur Verfügung stehen, um die mangelnde Verlässlichkeit unserer Wettervorhersagen zu beweisen, mag uns zu Wohlgefallen gereichen, weil unser immer schon vorhandenes Bauchgefühl jetzt endlich auch wissenschaftlich untermauert werden kann. Aber letztlich war unser Bauchgefühl für die Anforderung unseres Alltags doch auch schon gut genug.
Was also hat Mandelbrots Wirken mit unserer alltäglichen Erfahrungswelt zu tun?
Es scheint, als hätte sich auch Mandelbrot an einem bestimmten Punkt seines Lebens diese Frage gestellt. So schreibt er dazu in seinem Aufsatz „Fractal and Multifractal Finance“ („Fraktale und multifraktale Finanzen“), dass er sich schon in den frühen 1960er Jahren mit der mathematischen Modellierung des Geschehens am internationalen Finanzmarkt beschäftigt hat – ein Thema also, dass in der Tat uns alle etwas angeht. In den frühen 1970er Jahren hat Mandelbrot diesen Themenkomplex wieder aufgegriffen und auf die Bedeutung der von ihm eingeführten „Multifraktale“ für die Beschreibung des Finanzmarktgeschehens hingewiesen.
Im Laufe seines weiteren Lebens kam er dann immer wieder auf die Idee zurück, die komplexen Zusammenhänge des Finanzmarktgeschehens mit fraktalen Prinzipien zu beschreiben, bis er schließlich all seine diesbezüglichen Überlegungen in seinem 2004 erschienenen Buch „The (Mis)Behaviour of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin and Reward“ („Das (Fehl-)Verhalten der Märkte: eine fraktale Sicht auf Risiko, Zusammenbruch und Belohnung“) zusammengetragen und gemeinsam mit dem Journalisten Richard L. Hudson ausführlich dargelegt hat.
So wirklich zu einem wissenschaftlichen Durchbruch für die Modellierung der komplexen Zusammenhänge am Finanzmarkt hat es Mandelbrot mit seinem fraktalen Ansatz allerdings nicht gebracht. Letztlich konnte er mit seinen Überlegungen aber allemal eine mathematisch fundierte Begründung dafür liefern, dass es immer wieder zu unvorhersehbaren Großereignissen in der Finanzwelt kommen wird. Die grundsätzliche Erkenntnis, dass die herkömmlichen Methoden zur Modellierung des Finanzmarktgeschehens unzureichend sind und daher aller Wahrscheinlichkeit nach ein grundsätzliches Umdenken bei der Wahl des Modellierungsansatzes erforderlich ist, lässt sich ja auch tatsächlich nicht so einfach von der Hand weisen. Wirklich verlässliche Vorhersagen über mittel- bis langfristige Entwicklungen in der Finanzwelt sind jedenfalls bis heute kaum möglich, und dass es daher wirklich zu unvorhersehbaren Großereignissen kommen kann, hat die US-Immobilienkrise mit der dramatischen Folge der bis dahin vollkommen undenkbaren Lehman-Brothers-Insolvenz im Jahre 2008 eindrucksvoll bewiesen. Immerhin hat der Bestsellerautor Nassim Nicholas Taleb Mandelbrots oben erwähntes Buch als das „tiefgründigste und realistischste Finanzbuch, das je veröffentlicht wurde“ bezeichnet. Das will schon etwas heißen
Abschied
Benoît Mandelbrot starb 85-jährig am 14. Oktober 2010 in einem Hospiz in Cambridge, Massachusetts an einem Pankreaskarzinom. Sein Tod fand große Beachtung – und zwar nicht nur in der wissenschaftlichen Gemeinde, sondern weit darüber hinaus in der allgemeinen, weltweiten Presse. Das Word-Wide-Web ist jedenfalls voll von Nachrufen auf Mandelbrot, wie sie in den einschlägigen Gazetten dieser Welt nach seinem Tod erscheinen sind. Besonders deutlich hat sich der renommierte deutsche Fraktal- und Computergrafikforscher Hans-Otto Peitgen in seinem Nachruf auf Mandelbrot geäußert. So schrieb er, Mandelbrot sei „eine der wichtigsten Persönlichkeiten der letzten fünfzig Jahre für die Mathematik und deren Anwendung in der Naturwissenschaft“ gewesen.
Ich selbst – quasi als jugendlicher Zeitzeuge des anbrechenden fraktalen Zeitalters – kann jedenfalls bestätigen, dass Mandelbrots fraktale Geometrie, vor allem aber die weltbekannten Visualisierungen seines nach ihm benannten Flagschiff-Fraktals, wie kaum etwas anderes zum Sinnbild einer neuen Weltsicht und eines mit ihr einhergehenden Bewusstseinswandels geworden sind: das Apfelmännchen steht zeitgeschichtlich gesehen für die schier grenzenlose Erweiterung unseres Wissenshorizonts, den uns die Computertechnologie verschaffen kann – gleichsam also für die Mechanisierung wenn nicht gar Industrialisierung unseres Denkens.
Ästhetisch gesehen ist das Apfelmännchen hingegen nicht weniger als die bildgewordene Faszination für die Reinheit des mathematischen Denkens. Unendlich reiche, beliebig komplexe und umwerfend schöne Formen, die sich aus nichts anderem als der Hintereinanderanwendung einer denkbar simplen Rechenvorschrift ergeben – ganz so, als hätte dieses Formenwunder nur auf die Erfindung unser Rechenmaschinen gewartet, um uns die Perfektion unserer eigenen abstrakten Gedankenkonstruktionen zu offenbaren. Das ist für mich persönlich das wahre Vermächtnis dieses eigenwilligen Exzentrikers namens Benoît Mandelbrot!
Möge sein Andenken auf ewig in Ehren gehalten sein.
Epilog
Ich habe mal geschaut, wann ich die ersten Zeilen meiner Blogbeitragsserie zur Mandelbrotmenge verfasst habe. Das war im November 2017. Jetzt ist April 2019. Das Thema hat mich also nun wahrlich schon eine ganze Weile begleitet.
Dass ich viele von Euch dabei abgehängt haben mag – und zwar trotz aller redlichen Vorsätze, genau das zu vermeiden – darf mich, rückblickend gesehen, nicht wundern. Es gibt vermutlich keinen Weg, die Hintergründe der Mandelbrotmenge einfach und gleichzeitig tiefgründig genug zu vermitteln, um die Faszination, die von ihr ausgeht, wirklich begreifbar zu machen. Damit muss ich mich wohl abfinden.
Wenn ich aber so rekapituliere, mit welcher Hingabe ich immer wieder alles daran gesetzt habe, trotzdem mit meinem Ansinnen zu Euch allen durchzudringen, dann kann ich zumindest eins für mich in Anspruch nehmen: ich habe dabei eine Menge über mich selbst gelernt. Aber, um es mit Michael Endes berühmten Worten zu sagen: das ist eine andere Geschichte und soll – vielleicht – ein andermal erzählt werden.
Alles Liebe
Daniel