Vom Zäh­len zur Man­del­brot­men­ge — Teil 9: Geschich­te und Bedeu­tung

Hal­lo Ihr Lie­ben,

nach­dem wir uns nun in zäher Klein­ar­beit die zah­len­theo­re­ti­schen Grund­la­gen der Man­del­brot­men­ge, ihre Defi­ni­ti­on, die vie­len Fra­gen rund um die für sie maß­ge­ben­den Visua­li­sie­rungs­tech­ni­ken und zu guter Letzt ihre bestechen­de Ästhe­tik zusam­men mit eini­gen ihrer vie­len fas­zi­nie­ren­den Eigen­schaf­ten erschlos­sen haben, möch­te ich ger­ne – wie am Ende des ach­ten Teils mei­ner Blog­bei­trag-Serie zur Man­del­brot­men­ge ange­kün­digt – zum Abschluss noch ein paar Wor­te dar­über ver­lie­ren, wel­che Geschich­te hin­ter der Ent­de­ckung der Man­del­brot­men­ge steht und wel­che Bedeu­tung die­se Ent­de­ckung mit all ihren Impli­ka­tio­nen für die Mathe­ma­tik im Spe­zi­el­len aber auch unse­re Welt­sicht im All­ge­mei­nen hat­te und immer noch hat. Natür­lich gäbe noch unfass­bar viel mehr Inter­es­san­tes zur Man­del­brot­men­ge selbst und all ihren Eigen­schaf­ten zu erzäh­len. Ich muss aller­dings fest­stel­len, dass der Zuspruch zu mei­ner Bei­trags­se­rie doch auf­fäl­lig gerin­ger aus­ge­fal­len ist als der­je­ni­ge zu Bei­trä­gen, die nicht so sehr auf Nerd-spe­zi­fi­sches Fach­wis­sen abzie­len. Das, was ich also mit “unfass­bar viel mehr Inter­es­san­tes” mei­ne, ist daher ver­mut­lich nicht für jeden von Euch unbe­dingt so unfass­bar inter­es­sant. Nichts­des­to­trotz möch­te ich, bevor ich auf Geschich­te und Bedeu­tung der Man­del­brot­men­ge zu spre­chen kom­me, noch auf zwei You­Tube-Bei­trä­ge hin­wei­sen, denen ich im Zusam­men­hang mit der Man­del­brot­men­ge unlängst begeg­net bin:

Beim Ers­ten han­delt es sich um eine, wie ich fin­de, extrem inter­es­san­te, humor­vol­le und didak­tisch gera­de­zu vor­bild­lich auf­ge­bau­te Ein­füh­rung von Bur­kard Pols­ter in die Mecha­nik der Man­del­brot­men­ge namens “The dark side of the Man­del­brot set” (“Die dunk­le Sei­te der Man­del­brot­men­ge”), bei der so Man­ches in einer Art und Wei­se the­ma­ti­siert wird, die ich so noch nicht gese­hen habe. Ins­be­son­de­re wird dar­in nach mei­nem Dafür­hal­ten sehr anschau­lich dar­ge­legt, wie es zu der im vor­an­ge­gan­gen Bei­trag mei­ner Serie erläu­ter­ten cha­rak­te­ris­ti­schen Anzahl an Attrak­to­ren in der Haupt­kar­dioi­de und den Kopf­krei­sen des Apfel­männ­chens kommt:

Mir gefällt die Mischung aus Humor und Ernst­haf­tig­keit sowie die sehr plas­ti­sche Prä­sen­ta­ti­on der Gesetz­mä­ßig­kei­ten, die hin­ter dem schein­ba­ren Cha­os im Inne­ren der Man­del­brot­men­ge ste­hen.
 

Als zwei­tes woll­te ich Euch auf einen sen­sa­tio­nel­len Zoom auf­merk­sam machen, bei dem die gesam­te Ästhe­tik der Man­del­brot­men­ge noch­mals so rich­tig zur Gel­tung kommt. Es han­delt sich um eine mit Beleuch­tung und Tex­tu­ren auf­ge­pepp­te und in 4k-Auf­lö­sung auf­be­rei­te­te Rei­se durch die Man­del­brot­men­ge, bei der vie­le der in den vor­an­ge­gan­ge­nen Tei­len mei­ner Serie bespro­che­nen Eigen­schaf­ten des Apfel­männ­chens noch­mals in aller Schön­heit zum Aus­druck gelan­gen. Die sphä­risch-medi­ta­ti­ve Hin­ter­grund­mu­sik tut dabei ein Übri­ges, um das ästhe­ti­sche Erleb­nis zu ver­voll­stän­di­gen:

Nun aber genug der inhalt­li­chen Paren­the­sen. Wir woll­ten uns ja eigent­lich auf die Geschich­te und die Bedeu­tung der Man­del­brot­men­ge fokus­sie­ren.

Migra­ti­on und Fas­zi­na­ti­on

Man­del­brot als Kind

Lasst uns dazu eine klei­ne Zeit­rei­se in die pol­ni­sche Haupt­stadt War­schau zur Zeit der zwei­ten Pol­ni­schen Repu­blik machen, also in jene kur­ze Pha­se zwi­schen den bei­den Welt­krie­gen, in der War­schau als Kul­tur­stadt eine unge­ahn­te Blü­te­zeit erleb­te. Just in die­sen Jah­ren – näm­lich am 20. Novem­ber 1924 – erblick­te Benoît Man­del­brot als Sohn des Tex­til­händ­lers Karl Man­del­brojt und der Den­tal­chir­ur­gin Bel­la Man­del­brot (gebo­re­ne Lurie) in der auf­blü­hen­den Kul­tur­me­tro­po­le das Licht der Welt. Bei­de Eltern­tei­le waren aka­de­misch geprägt – Bel­la als Medi­zi­ne­rin sowie­so aber auch Karl als Abkömm­ling einer tra­di­tio­nell aka­de­mi­schen Fami­lie, in der aller­dings auch so man­cher der vie­len Aka­de­mi­ker mit­tel­los geblie­ben war, wes­we­gen sich Karl zur Siche­rung sei­ner mate­ri­el­len Exis­tenz prag­ma­ti­scher Wei­se ent­schie­den hat­te, sich als Tex­til­händ­ler zu ver­din­gen. Bil­dung und Wis­sen­schaft hat­ten aber wei­ter­hin einen hohen Stel­len­wert in Man­del­brots Eltern­haus. Den­noch besuch­te der jun­ge Benoît die Schu­le in War­schau nur spo­ra­disch, weil sei­ne Mut­ter ihn – ver­mut­lich auf­grund ihrer beruf­li­chen Ver­bun­den­heit mit der Medi­zin – aus Angst vor sei­ner­zeit gras­sie­ren­den Epi­de­mi­en so gut es ging von der Schu­le fern­zu­hal­ten ver­such­te. 

Um dem aus­ge­präg­ten Inter­es­se sei­ner Eltern an einer soli­den Bil­dung des jun­gen Benoît trotz­dem gerecht zu wer­den, wur­de zunächst der sei­ner­zeit arbeits­lo­se Ehe­mann von Karls Schwes­ter Hele­na Loter­man (gebo­re­ne Man­del­brojt) rekru­tiert, um Benoît häus­li­chen Unter­richt zu ertei­len. Onkel Loter­man soll dem klei­nen Benoît ins­be­son­de­re Schach und Kar­ten­le­sen bei­gebracht haben. Dabei zeig­te sich offen­bar schon recht früh, dass Benoît über eine unge­wöhn­lich hohe Lese­ge­schwin­dig­keit ver­füg­te. 

Man­del­brot als Teen­ager

Im Jah­re 1936 emi­grier­te der erst zwölf­jäh­ri­ge Benoît mit sei­nen Eltern nach Paris, wohin Karls Bru­der Szo­lem Man­del­brojt schon 1920 gezo­gen war und es im Jah­re 1929 immer­hin schon zum Pro­fes­sor für Mathe­ma­tik an der Uni­ver­si­tät von Cler­mont-Fer­rand gebracht hat­te. Benoît besuch­te in Paris zunächst das Lycée Rolin-Gym­na­si­um, bevor die Fami­lie mit Aus­bruch des zwei­ten Welt­kriegs nach Tul­le zog, um dem Besat­zungs­re­gime der Nazis zu ent­flie­hen. Aus Angst davor, als Juden von miss­güns­ti­gen, oppor­tu­nis­ti­schen Nach­barn an die Nazi-Kol­la­bo­ra­teu­re des Vichy-Regimes ver­ra­ten zu wer­den, hielt sich die Fami­lie in die­ser Zeit von den Groß­städ­ten fern, so dass der jun­ge Benoît sich in über­wie­gend auto­di­dak­tisch wei­ter­bil­de­te. In sei­ner Auto­bio­gra­fie schil­dert Benoît Man­del­brot die­sen Lebens­ab­schnitt als eine Zeit fort­wäh­ren­der Angst vor Denun­zia­ti­on durch sein sozia­les Umfeld.

Szo­lem Man­del­brojt

Offen­bar ist es bei Benoît jedoch auch in die­ser Zeit – nicht zuletzt durch den Ein­fluss sei­nes Onkels Szo­lem Man­del­brojt – zu einem ver­stärk­ten Inter­es­se an Mathe­ma­tik gekom­men, so dass Benoît unmit­tel­bar nach der Ver­trei­bung der Nazi-Besat­zer aus Paris noch im Jah­re 1944 dort­hin zurück­kehr­te und sich sowohl für eine Auf­nah­me an der  Eco­le Nor­ma­le Supé­ri­eu­re als auch an der Eco­le Poly­tech­ni­que qua­li­fi­zier­te. Er begann sein Stu­di­um in der Tat dann auch im Jah­re 1945 vor­über­ge­hend an der Eco­le Nor­ma­le Supé­ri­eu­re, wech­sel­te aber nach nur weni­gen Tagen an die Eco­le Poly­tech­ni­que, wo er unter ande­rem bei Gas­ton Julia und Paul Lévy stu­dier­te und im Jah­re 1947 sei­nen Abschluss als “Ingé­nieur diplô­mé” mach­te.

Man­del­brot Ende Zwan­zig

Das Zusam­men­tref­fen mit Gas­ton Julia hat­te prä­gen­den Ein­fluss auf Benoît, denn es han­del­te sich just um jenen Gas­ton Julia, der die nach ihm benann­ten Julia-Men­gen erforscht hat­te – mathe­ma­ti­sche Kon­struk­te, die eng mit der Man­del­brot-Men­ge ver­wandt sind (dazu wei­ter unten mehr). Sei­ne wei­te­re aka­de­mi­sche Lauf­bahn führ­te Man­del­brot dann in den Jah­ren 1947 bis 1949 an das Cali­for­nia Insti­tu­te of Tech­no­lo­gy, wo er erfolg­reich sei­nen Mas­ter-Titel in Aero­nau­tik erlang­te. Anschlie­ßend kehr­te er im Jah­re 1949 wie­der nach Paris zurück, um nur drei Jah­re spä­ter sei­nen Dok­tor­ti­tel in Mathe­ma­tik­wis­sen­schaf­ten an der Uni­ver­sité de Paris (“Sor­bon­ne”) zu erhal­ten. 

Man­del­brot bei IBM

Gespon­sert von nie­mand gerin­ge­rem als dem Infor­ma­tik-Pio­nier Jon von Neu­mann ver­brach­te Man­del­brot dann die Jah­re 1953 und 1954 an der Prince­ton Uni­ver­si­ty. Im Jah­re 1955 zog Man­del­brot mit sei­ner kurz zuvor gehei­ra­te­ten Frau Ali­et­te Kagan vor­über­ge­hend nach Genf, um jedoch nur kur­ze Zeit spä­ter einen Lehr­auf­trag an der Uni­ver­sité Lil­le Nord de Fran­ce anzu­neh­men. Doch auch dort hielt es Man­del­brot nicht lan­ge, so dass er 1958 wie­der zurück in die Ver­ei­nig­ten Staa­ten zog, wo er sich schließ­lich für die nächs­ten 35 Jah­re sei­nes Lebens dem “IBM Tho­mas J. Wat­son Rese­arch Cen­ter” in New York anschloss. 

Mons­ter und Signal­stö­run­gen

Im Jah­re 1961 beschäf­tig­te man sich bei IBM ver­mehrt mit der Idee, digi­ta­le Signa­le über Tele­fon­lei­tun­gen zu über­tra­gen. Bei den zuge­hö­ri­gen Expe­ri­men­ten stell­te man jedoch fest, dass es bestimm­te Stör­si­gna­le auf den Test­lei­tun­gen gab, durch die es immer wie­der zu Unter­bre­chun­gen der Daten­über­tra­gun­gen kam. Man­del­brot erhielt in die­sem Zusam­men­hang die Auf­ga­be, die Stör­si­gna­le zu ana­ly­sie­ren und ihrer Ursa­che auf die Schli­che zu kom­men. 

Ver­mut­lich war es Man­del­brots oben bereits erwähn­te, anhand von Stadt- und Land­kar­ten früh ent­wi­ckel­te Affi­ni­tät zu bild­haf­ten Dar­stel­lun­gen, die es ihm ermög­lich­te, eben jenen beson­de­ren Blick für visu­el­le Zusam­men­hän­ge in sei­ne Unter­su­chun­gen ein­flie­ßen zu las­sen. Jeden­falls begann er, sich die Mus­ter der Stör­si­gna­le genau­er anzu­se­hen und stell­te dabei fest, dass die Fol­ge von gestör­ten und und unge­stör­ten Über­tra­gungs­zei­ten ein ganz bestimm­tes Mus­ter auf­wies. Die­ses Mus­ter blieb dabei auch dann erhal­ten, wenn er sich den Ver­lauf der Stö­run­gen in immer kür­zer wer­den­den Zeit­in­ter­val­len betrach­te­te. Soll hei­ßen: ein und das­sel­be Mus­ter aus gestör­ten und unge­stör­ten Über­tra­gungs­ab­schnit­ten erschien über den Ver­lauf eines Tages, aber eben­so über den Ver­lauf einer Stun­de, Einer Minu­te, einer Sekun­de und eines belie­bi­gen Sekun­den­bruch­teils: 

Bei die­ser Beob­ach­tung klin­gel­te etwas in Man­del­brots Hin­ter­kopf: er erin­ner­te sich an die soge­nann­ten “geo­me­tri­schen Mons­ter”, auf die ihn schon sein Onkel Szo­lem Man­del­brojt auf­merk­sam gemacht hat­te. Es han­del­te sich um mathe­ma­ti­sche Kon­struk­tio­nen, die im spä­ten neun­zehn­ten Jahr­hun­dert erdacht wor­den waren und sich damals sämt­li­chen zeit­ge­nös­si­schen Vor­stel­lun­gen von Geo­me­trie zu ent­zie­hen schie­nen, was sie aus zeit­ge­nös­si­scher Sicht eben gera­de als “Mons­ter” qua­li­fi­zier­te.

Die ein­fachs­te Form eines sol­ches “Mons­ters” war die nach dem 1845 in St. Peters­burg gebo­re­nen, deutsch­stäm­mi­gen Mathe­ma­ti­ker Georg Can­tor benann­te “Can­tor-Men­ge” (wir sind Can­tor übri­gens schon ein­mal in mei­nem Bei­trag zu den Reel­len Zah­len im Zusam­men­hang mit sei­ner dort erwähn­ten Dia­go­na­li­sie­rung begeg­net). Sie ent­steht, indem man von einer ein­fa­chen Linie aus­geht:

Die­se Line teilt man anschlie­ßend in drei gleich­gro­ße Seg­men­te:

Nun ent­fernt man das mitt­le­re Seg­ment:

Jetzt schnappt man sich die bei­den ver­blei­ben­den Seg­men­te und teilt sie selbst wie­der­um in je drei gleich­gro­ße Unter­seg­men­te:

Man ent­fernt jetzt wie­der jeweils das mitt­le­re Unter­seg­ment:

Auch die so ver­blei­ben­den Seg­men­te teilt man jeweils in drei gleich­gro­ße Seg­men­te…

…und ent­fernt das jeweils Mitt­le­re davon:

Die­sen Pro­zess denkt man sich nun unend­lich lan­ge fort­ge­setzt. Es ent­steht auf die­se Wei­se eine unend­li­che Fol­ge von Strich­mus­tern, die immer wie­der Auf­taucht, egal wie tief man sozu­sa­gen in einen die­ser Stri­che “hin­ein­zoomt”:

Wir sind die­sem Phä­no­men schon im vor­an­ge­gan­ge­nen Bei­trag die­ser Serie unter dem Begriff “Selb­st­ähn­lich­keit” begeg­net. Und genau die­ses Selb­st­ähn­lich­keits­phä­no­men war es, das Man­del­brot bei den Mus­tern der Stör­si­gna­le wie­der­erkann­te. Soll­te das etwa bedeu­ten, dass die unter Mathe­ma­ti­kern als eso­te­risch gel­ten­den “geo­me­tri­schen Mons­ter” plötz­lich sogar ganz rea­le Phä­no­me­ne beschrei­ben?

Die eng­li­sche Küs­te und Frak­ta­le

Die­ser mög­li­che Zusam­men­hang zwi­schen den von ihrer cha­rak­te­ris­ti­schen Selb­st­ähn­lich­keit gepräg­ten “geo­me­tri­schen Mons­tern” und real exis­tie­ren­den Phä­no­me­nen ließ Man­del­brot seit­dem nicht mehr los. Und tat­säch­lich stieß er im Jah­re 1967 erneut auf ein art­ver­wand­tes Pro­blem, als er das soge­nann­te “Küs­ten­li­ni­en­pa­ra­do­xon” des 1881 in New­cast­le upon Tyne gebo­re­nen bri­ti­schen Mathe­ma­ti­kers Lewis Fry Richard­son unter­such­te. Die­ser hat­te näm­lich her­aus­ge­fun­den, dass es nicht ohne Wei­te­res mög­lich ist, die Län­ge einer Küs­ten­li­nie exakt zu mes­sen. Am Bei­spiel der bri­ti­schen Inseln, das spä­ter von Man­del­brot in sei­nem berühmt gewor­de­nen Auf­satz “How Long Is the Coast of Bri­tain? Sta­tis­ti­cal Self-Simi­la­ri­ty and Frac­tio­n­al Dimen­si­on” (“Wie lang ist die Küs­te Bri­tan­ni­ens? Sta­tis­ti­sche Selb­st­ähn­lich­keit und frak­tio­na­le Dimen­si­on”) ver­wen­det wur­de, lässt sich das recht offen­sicht­lich erken­nen:

Im lin­ken Bild ver­sucht man, den Umfang der Küs­ten­li­nie Bri­tan­ni­ens mit Hil­fe von 200 Kilo­me­ter lan­gen Stä­ben zu umschlie­ßen. Man beginnt mit dem roten Stab ganz oben, der zwei belie­bi­ge, 200km von­ein­an­der ent­fern­te Punk­te der Küs­te ver­bin­det. Dann setzt man an das eine Ende die­ses Stabs den nächs­ten 200km-lan­gen Stab und dreht ihn solan­ge, bis sein ande­res Ende die Küs­te berührt. So ver­fährt man dann mit wei­te­ren 200km-Stä­ben, bis man wie­der beim ursprüng­li­chen Stab ange­langt ist. Es ergibt sich dabei, dass man rund zwölf Stä­be benö­tigt und somit auf eine Küs­ten­län­ge von ca. 2.400km kommt.

Im mitt­le­ren Bild, wird das­sel­be Vor­ge­hen mit 100km-lan­gen Stä­ben gezeigt. Davon braucht man immer­hin schon rund 28 Stück und kommt somit plötz­lich auf eine Küs­ten­län­ge von ca. 2.800km. Voll­zieht man, wie im rech­ten Bild zu sehen, das Gan­ze mit nur 50km-lan­gen Stä­ben, braucht man derer rund 68 und kommt somit auf eine Küs­ten­län­ge von ca. 3.400km.

Tat­säch­lich wird die Küs­ten­li­nie also immer län­ger, je kür­zer die Stä­be sind, die man ver­wen­det. Der Grund dafür ist im Wesent­li­chen die unend­li­che “Rau­h­heit” der Küs­ten­li­nie: egal wie klein man den Abschnitt der Küs­ten­li­nie wählt: sie besteht nie aus glat­ten Lini­en son­dern immer und immer wie­der aus gezack­ten Struk­tu­ren. 

Als sich Man­del­brot mit die­ser Beob­ach­tung zu beschäf­ti­gen begann, kam ihm ins­be­son­de­re die Koch-Flo­cke in den Sinn, die ich im vor­an­ge­gan­ge­nen Bei­trag die­ser Bei­trags­se­rie vor­ge­stellt habe. Ihr erin­nert Euch noch: das war die Sache mit den gleich­sei­ti­gen Drei­ecken, deren Sei­ten immer wie­der aufs Neue in drei Seg­men­te zer­legt wur­den, von denen das Mitt­le­re dann jeweils durch eine gleich­sei­ti­ge Drei­ecks­spit­ze ersetzt wur­de:

Auch die Koch-Flo­cke ist eines die­ser klas­si­schen “geo­me­tri­schen Mons­ter”. Man­del­brot wur­de also erneut in sei­ner Ver­mu­tung bestärkt, dass die­se “Mons­ter” als adäqua­tes mathe­ma­ti­sches Modell für natür­li­che Phä­no­me­ne her­hal­ten kön­nen, die man mit her­kömm­li­cher Geo­me­trie nicht ange­mes­sen beschrei­ben kann. 

Als Ant­wort auf die­se Erkennt­nis­se ent­wi­ckel­te Man­del­brot schließ­lich eine von ihm erst­mals im Jah­re 1975 als “frak­tal” bezeich­ne­te Geo­me­trie und präg­te dazu sein berühm­tes Para­dig­ma:

“Wol­ken sind kei­ne Kugeln, Ber­ge sind kei­ne Kegel, Küs­ten­li­ni­en sind kei­ne Krei­se und weder ist Rin­de glatt noch brei­ten sich Blit­ze grad­li­nig aus.”

Mit Man­del­brots “frak­ta­ler Geo­me­trie” ent­stand also zum ers­ten Mal ein adäqua­tes mathe­ma­ti­sches Modell für die Beschrei­bung “rau­er” Objek­te, die mit her­kömm­li­chen geo­me­tri­schen Metho­den bis dahin nicht beschreib­bar waren. Die oben betrach­te­te Küs­ten­li­nie Bri­tan­ni­ens ist dabei eben­so ein sol­ches “rau­es” Objekt, wie eine Wol­ke, die Oro­gra­phie einer Berg­land­schaft oder die Form einer Broc­co­li-Knol­le.

All die­se Objek­te sind dadurch cha­rak­te­ri­siert, dass sie aus lau­ter klei­ne­ren Struk­tu­ren bestehen, die in sich wie­der aus noch klei­ne­ren Struk­tu­ren bestehen und so wei­ter – bis in alle Unend­lich­keit. Für sol­che Objek­te sind daher auch die Dimen­sio­nen der her­kömm­li­chen Geo­me­trie nicht mehr adäquat, denn sie bestehen auch bei stärks­ter Ver­grö­ße­rung nie­mals aus “glat­ten” Ele­men­ten. In die­sem Zusam­men­hang ent­wi­ckel­te Man­del­brot daher ins­be­son­de­re den Begriff der “frak­ta­len Dimen­si­on”, eine Art Maß für die Rau­heit einer gege­be­nen frak­ta­len Struk­tur. Das kann man sich in etwa so vor­stel­len:

Wäh­rend die her­kömm­li­che Geo­me­trie nur ganz­zah­li­ge Dimen­sio­nen kennt, also etwa “ein­di­men­sio­nal” (1d), “zwei­di­men­sio­nal” (2d) oder “drei­di­men­sio­nal” (3d), kön­nen frak­ta­le Dimen­sio­nen im All­ge­mei­nen auch zwi­schen die­sen her­kömm­li­chen Dimen­sio­nen lie­gen. Der Rand der oben noch­mals dar­ge­stell­ten Koch-Flo­cke hat bei­spiels­wei­se die frak­ta­le Dimen­si­on 1,26186 und liegt damit zwi­schen “ein­di­men­sio­nal” (also lini­en­för­mig) und “zwei­di­men­sio­nal” (also flä­chig). Das liegt im Wesent­li­chen an sei­ner unend­lich fort­ge­setz­ten Rau­h­heit (es gibt auch bei unend­li­cher Ver­grö­ße­rung belie­bi­ger Rand­ab­schnit­te kei­ne Lini­en ohne Knick) , durch die der an sich lini­en­för­mig erschei­nen­de Rand kei­ne eigent­li­che Linie mehr ist, son­dern viel­mehr eine gewis­ses Maß an Aus­deh­nung in die Flä­che erhält. Der Rand der Man­del­brot­men­ge hat dage­gen die frak­ta­le Dimen­si­on 2 und ist damit de fac­to flä­chig. Das mag über­ra­schend klin­gen, aber wenn Ihr Euch an die extre­me Kom­ple­xi­tät des Man­del­brot­men­gen-Ran­des erin­nert, erscheint es dann doch irgend­wie wie­der plau­si­bel. 

Das gro­ße Kom­pen­di­um sei­ner frak­ta­len Geo­me­trie inklu­si­ve des mit ihr zusam­men­hän­gen­den Begriffs der frak­ta­len Dimen­si­on, vor allem aber den Bezug die­ser Geo­me­trie zu rea­len Objek­ten und Phä­no­me­nen aller Art hat Man­del­brot in sei­nem wohl wich­tigs­ten Werk “The Frac­tal Geo­me­try of Natu­re” (“Die frak­ta­le Geo­me­trie der Natur”) nie­der­ge­legt. Das ist wahr­lich kein Buch zum eben mal Her­um­schmö­kern, aber alle­mal ein Zeug­nis der enor­men Leis­tung, die Man­del­brot für die Mathe­ma­tik frak­ta­ler Struk­tu­ren und damit für die Mathe­ma­tik an sich erbracht hat.

Juli­a­men­gen und Visua­li­sie­rung

In den spä­ten 1970er Jah­ren beschäf­tig­te sich Man­del­brot bereits inten­siv mit jenen mathe­ma­ti­schen Model­len zur Beschrei­bung frak­ta­ler Struk­tu­ren – immer auch auf der Suche nach Anwen­dun­gen sol­cher Model­le auf rea­le Objek­te. Dabei besann er sich auf sei­ne alten Lehr­meis­ter Gas­ton Julia und Paul Lévy aus sei­ner Zeit an der Eco­le Poly­tech­ni­que in den 1940er Jah­ren. Ins­be­son­de­re Gas­ton Julia hat­te sich mit der fort­ge­setz­ten Hin­ter­ein­an­der­an­wen­dung ein­fa­cher qua­dra­ti­scher Funk­tio­nen auf ihre eige­nen Ergeb­nis­se beschäf­tigt und dabei die spä­ter nach ihm benann­ten “Juli­a­men­gen” ein­ge­führt.

Um die­se Juli­a­men­gen effi­zi­en­ter stu­die­ren zu kön­nen, nutz­te Man­del­brot die unbe­streit­ba­ren Vor­tei­le sei­ner Anstel­lung bei IBM, die vor allem dar­in bestan­den, dass er Zugang zu den schnells­ten Rech­nern sei­ner Zeit hat­te und sich somit die Aus­wir­kun­gen ver­schie­de­ner Para­me­te­rän­de­run­gen auf das visu­el­le Erschei­nungs­bild der ent­spre­chend para­me­tri­sier­ten Juli­a­men­gen in bis dahin unge­ahn­ter Geschwin­dig­keit dar­stel­len las­sen konn­te:

Visu­ell geprägt, wie Man­del­brot es nun ein­mal war, gewann er dabei die Erkennt­nis, dass die Men­gen bestimm­te geo­me­tri­sche Eigen­schaf­ten haben, die ent­schei­dend von der Wahl der Start­pa­ra­me­ter für die fort­ge­setz­ten Hin­ter­ein­an­der­aus­füh­run­gen der zugrun­de­lie­gen­den qua­dra­ti­schen Funk­tio­nen abhän­gen. Um die­se Abhän­gig­kei­ten genau­er zu ergrün­den, ließ er sich im Jah­re 1979 – eben­falls von den sei­ner­zeit unschlag­bar schnel­len IBM-Rech­nern – die geo­me­tri­sche Ver­tei­lung der ver­schie­de­nen Start­pa­ra­me­ter in der kom­ple­xen Ebe­ne visua­li­sie­ren. Das Ergeb­nis ist Geschich­te: er hat­te die spä­ter nach ihm benann­te Man­del­brot­men­ge ent­deckt.

(“Kom­ple­xe Ebe­ne” – da war doch was? Rich­tig, das hat­ten wir mal im fünf­ten Teil mei­ner hie­si­gen Bei­trags­se­rie…)

Jeden­falls wur­de die Man­del­brot­men­ge auf­grund ihrer Ent­ste­hungs­ge­schich­te schnell zum Vor­zei­ge­bei­spiel einer neu­en Art, Mathe­ma­tik zu betrei­ben: man nutzt die Rechen­leis­tung und Visua­li­sie­rungs­tech­ni­ken moder­ner Daten­ver­ar­bei­tungs­sys­te­me, um anhand der so berech­ne­ten Dar­stel­lun­gen Zusam­men­hän­ge und Sys­te­ma­ti­ken zu ergrün­den, die sich aus der blo­ßen Betrach­tung der mathe­ma­ti­schen For­meln schlicht­weg nicht erschlie­ßen. Damit wur­de eine ganz eige­ne, rech­ner­ge­stütz­te Form der expe­ri­men­tel­len Mathe­ma­tik begrün­det, für wel­che die Ent­de­ckung der Man­del­brot­men­ge gera­de­zu para­dig­ma­tisch ist.

Dem­entspre­chend tauch­ten Man­del­brots Frak­tal-Visua­li­sie­run­gen in den frü­hen 1980er Jah­ren in allen mög­li­chen Com­pu­ter­zeit­schrif­ten und popu­lär­wis­sen­schaft­li­chen Ver­öf­fent­li­chun­gen auf, zier­ten Nerd-T-Shrits, inspi­rier­ten Künst­ler und Musi­ker und wur­den so zur Iko­ne einer neu­en, com­pu­ter­ge­stützt ent­stan­de­nen Welt­sicht, in der sich selbst die kom­ple­xes­ten Gebil­de schein­bar auf ein­fa­che mathe­ma­ti­sche Gesetz­mä­ßig­kei­ten zurück­füh­ren lie­ßen. Frak­ta­le hiel­ten zudem sowohl tech­nisch als auch begriff­lich Ein­zug in die Welt der Com­pu­ter­spie­le. Nie wer­de ich den Moment ver­ges­sen, als ich in mei­nen zar­ten Teen­ager-Com­pu­ter-Kid-Tagen zum ers­ten Mal mit eige­nen Augen den 3D-Flug über die frak­tal gene­rier­te Land­schaft einer fik­ti­ven Pla­ne­ten­ober­flä­che im 1984 erschei­nen Lucas­film-Games-Klas­si­ker “Res­cue on Frac­ta­lus!” auf dem guten alten Ata­ri XL eines Freun­des erblick­te:

Die pro­gram­mier­tech­ni­sche Meis­ter­leis­tung, die sich in die­sem Spiel offen­bar­te, kann nur ver­ste­hen, wer die Leis­tungs­gren­zen eines 8bit-Rech­ners aus den 1980er Jah­ren vor Augen hat. Sta­te-of-the-art Com­pu­ter­spie­le auf sol­chen Rech­nern sahen näm­lich nor­ma­ler­wei­se so aus:

Man kann sich das etwa so vor­stel­len: die Rechen­leis­tung der dama­li­gen 8bit-Home­com­pu­ter wird selbst vom bil­ligs­ten heu­te am Markt erhält­li­chen Han­dy um meh­re­re Zeh­ner­po­ten­zen über­trof­fen.

Jeden­falls hieß der fik­ti­ve Pla­net, auf dem man in “Res­cue on Frac­ta­lus!” gestran­de­te Pilo­ten zu ret­ten hat­te, nicht ohne Grund “Frac­ta­lus” und die Berg­land­schaft, so pixe­lig sie aus heu­ti­ger Sicht auch erschei­nen mag, wur­de auf dem lächer­lich schwach­brüs­ti­gen 6502-Pro­zes­sor des alten Ata­ris in Echt­zeit mit Hil­fe frak­ta­ler Berech­nungs­for­meln gene­riert. Leu­te: das war damals nicht weni­ger als eine infor­ma­ti­ons­tech­no­lo­gi­sche Offen­ba­rung! Ich zie­he auch heu­te noch mei­nen Hut vor David Fox und sei­nem Team, die wirk­lich das letz­te Quänt­chen Rechen­leis­tung aus dem 8bit-Urge­stein her­aus­ge­holt haben.

Übri­gens, für alle von Euch, die so etwas span­nend fin­den soll­ten: es gibt da tat­säch­lich einen ehr­gei­zi­gen aus­tra­li­schen Alt-Nerd aus der 8‑bittigen Pio­nier­zeit der Com­pu­ter­tech­no­lo­gie namens “Luke Arnold”, der aus purem Selbst­zweck ein lie­be­voll gestal­te­tes zeit­ge­mä­ßes Remake von “Res­cue on Frac­ta­lus!” auf der vor allem für Smart­pho­ne-Spie­le bekann­ten “Unity-Engi­ne” pro­gram­miert hat. Das sieht dann unge­fähr so aus:

Ich den­ke, man kann dar­an ganz gut erken­nen, wel­che Fort­schrit­te die Com­pu­ter­tech­no­lo­gie seit 1984 gemacht hat. Die Berg­land­schaft wird übri­gens auch in die­sem Remake auf Basis frak­ta­ler Algo­rith­men in Echt­zeit berech­net. Man­del­brot sei Dank.

Popu­lä­res Cha­os

Aber Man­del­brots Arbei­ten haben natür­lich weit mehr bewirkt, als nur Kunst und Unter­hal­tungs­in­dus­trie mit com­pu­ter­ge­ne­rier­ter Ästhe­tik bzw. futu­ris­ti­schen Land­schafts­for­ma­tio­nen zu befeu­ern. Tat­säch­lich fin­det sich etwa eine bemer­kens­wer­te Ver­wand­schaft zwi­schen der Man­del­brot­men­ge und einer ande­ren Dis­zi­plin, die nahe­zu zeit­gleich mit Man­del­brots Frak­ta­len ins Bewusst­sein der Öffent­lich­keit gerückt ist: die Cha­os­for­schung. Auch sie ist letzt­lich ein Kind des Com­pu­ter­zeit­al­ters, denn erst mit Hil­fe leis­tungs­fä­hi­ger Rech­ner­sys­te­me wur­de es mög­lich, mathe­ma­ti­sche Model­le für chao­ti­sche Sys­te­me sinn­voll auf ihre Eigen­schaf­ten hin zu unter­su­chen. 

Dabei bezeich­net man ein Sys­tem als chao­tisch, wenn die Bezie­hung zwi­schen Ursa­chen und Wir­kung inner­halb des Sys­tems nicht mehr dem soge­nann­ten Prin­zip der “star­ken Kau­sa­li­tät” folgt. Um zu ver­ste­hen, was damit gemeint ist, bie­tet es sich an, das all­ge­mein bekann­te Prin­zip der “schwa­chen Kau­sa­li­tät” zu reka­pi­tu­lie­ren, das da lau­tet;

“Glei­che Ursa­chen haben glei­che Wir­kun­gen”

Unse­re gesam­te All­tags­er­fah­rung folgt die­sem schwa­chen Kau­sa­li­täts­prin­zip. Wenn ich bei lau­fen­dem Motor und ein­ge­leg­ter Fahr­stu­fe aufs Gas­pe­dal mei­nes Autos drü­cke, beschleu­nigt es. Das kann ich belie­big oft repro­du­zie­ren (natür­lich nur bis der Treib­stoff alle ist oder ein Defekt auf­tritt – aber von sol­chen Aus­nah­me­fäl­len wol­len wir hier mal geflis­sent­lich abs­tra­hie­ren). Wenn ich den Licht­schal­ter auf “ein” schie­be, geht das Licht an. Das ist abso­lut ver­läss­lich wie­der­hol- und vor­her­seh­bar  (jaja – es sei denn, der Strom fällt aus oder das Leucht­mit­tel brennt durch. Schon gut). 

Dass unse­re All­tags­er­fah­rung dem Prin­zip der schwa­chen Kau­sa­li­tät folgt, ist auch kein Zufall. Es ist (bis auf gewis­se Aspek­te der Quan­ten­me­cha­nik) das uni­ver­sel­le Prin­zip allen wis­sen­schaft­li­chen Arbei­tens. Kei­ne Wis­sen­schafts- oder  Inge­nieur­dis­zi­pli­nen wäre ohne die­ses Prin­zip denk­bar, denn erst die schwa­che Kau­sa­li­tät erlaubt es uns, auf Basis modell­haf­ter Über­le­gun­gen und Berech­nun­gen Vor­her­sa­gen über rea­le Phä­no­me­ne zu machen. Sie steht gewis­ser­ma­ßen für das gemein­hin aner­kann­te Pos­tu­lat, dass unse­re Welt aus­schließ­lich deter­mi­nis­ti­schen Gesetz­mä­ßig­kei­ten folgt (sieht man mal, wie gesagt, von quan­ten­me­cha­ni­schen Spe­zi­al­fäl­len und natür­lich dem Wil­lens­bil­dungs­pro­zess einer Frau ab). 

Etwas weni­ger selbst­ver­ständ­lich ist dage­gen das Prin­zip der “star­ken Kau­sa­li­tät”, das da lau­tet:

“Ähn­li­che Ursa­chen haben ähn­li­che Wir­kun­gen”

Auch das ken­nen wir aus vie­len all­täg­li­chen Erfah­run­gen. Wenn man einen Ten­nis­ball wirft, lan­det er in einer gewis­sen Ent­fer­nung vom Wer­fer auf dem Boden. Wirft man in fes­ter, lan­det er wei­ter weg. Wirft man ihn hin­ge­gen weni­ger fest, lan­det eher ent­spre­chend näher. Die Wir­kun­gen (hier die Ent­fer­nun­gen, in wel­chen der Ball auf den Boden trifft) ändern sich in die­sem Bei­spiel auf ähn­li­che Wei­se wie die Ursa­chen (hier die Wür­fe mit ver­schie­de­nen Kräf­ten). 

Auch die star­ke Kau­sa­li­tät wird den meis­ten wis­sen­schaft­li­chen und tech­ni­schen Über­le­gun­gen zugrun­de­ge­legt, denn man muss immer in gewis­sem Umfang von der Kom­ple­xi­tät der rea­len Welt abs­tra­hie­ren, um noch sinn­vol­le Modell­rech­nun­gen für Vor­her­sa­gen über eben jene rea­le Welt durch­füh­ren zu kön­nen. Das geht aber nur, wenn die Kau­sa­li­tä­ten in der rea­len Welt in die­sem Sin­ne “robust” sind – wenn es also für die errech­ne­te Wir­kung auf gewis­se Fein­hei­ten der für sie ver­ant­wort­li­chen Ursa­chen nicht wesent­lich ankommt.

Das ist aber in der Rea­li­tät nicht immer so. Betrach­ten wir dazu ein ein­fa­ches Expe­ri­ment:

Wir las­sen eine Kugel durch ein enges Loch auf die Spit­ze eines drei­ecki­gen Kör­pers fal­len und fra­gen uns, auf wel­cher Sei­te sie her­un­ter­rol­len wird – links oder rechts? Es ist offen­sicht­lich, dass schon kleins­te Abwei­chun­gen der Aus­gangs­la­ge zwi­schen meh­re­ren Wür­fen zu voll­kom­men unter­schied­li­chen Ergeb­nis­sen füh­ren wer­den. Daher erhal­ten wir also schon bei kleins­ten Ände­run­gen der Ursa­che voll­kom­men unter­schied­li­che Wir­kun­gen, so dass das Prin­zip der star­ken Kau­sa­li­tät hier nicht mehr gilt.

Gilt dann aber immer noch das Prin­zip der schwa­chen Kau­sa­li­tät? Ja, tut es. Wenn wir die Kugel wirk­lich unter den exakt glei­chen Bedin­gun­gen von exakt der­sel­ben Posi­ti­on aus fal­len las­sen, wird sie immer auf exakt der­sel­ben Sei­te des Drei­ecks lan­den. Unse­re Welt bleibt also auch wei­ter­hin deter­mi­nis­tisch. Es ist nur in der Pra­xis fast unmög­lich, die­se Exakt­heit ein­zu­hal­ten, so dass die feh­len­de star­ke Kau­sa­li­tät hier zum Pro­blem für die Vor­her­sag­bar­keit der Lauf­rich­tung unse­rer Kugel wird. 

Sys­te­me wie das obi­ge, bei denen das Prin­zip der star­ken Kau­sa­li­tät nicht mehr anwend­bar ist, wer­den als “chao­ti­sche Sys­te­me” bezeich­net und sind zen­tra­ler Gegen­stand der Cha­os­for­schung. Der Zusam­men­hang zwi­schen Frak­ta­len wie der Man­del­brot­men­ge und besag­ter Cha­os­for­schung ergibt sich dabei aus den mathe­ma­ti­schen Model­len, mit deren Hil­fe man ver­sucht, das Ver­hal­ten bestimm­ter chao­ti­scher Sys­te­me zu beschrei­ben. Betrach­ten wir dazu die fol­gen­de Erwei­te­rung unse­res obi­gen Expe­ri­ments:

Wir haben hier eine Kas­ka­de aus lau­ter Drei­ecks­kör­pern ange­ord­net, in die ganz oben wie­der­um eine Kugel durch ein enges Loch fal­len gelas­sen wird, die jeweils an bei­den Enden des Drei­ecks­kör­pers auf die Spit­ze des nächs­ten Drei­ecks­kör­pers tref­fen kann. Am Ende der Kas­ka­de fällt die Kugel dann in einen von meh­re­ren Behäl­tern – je nach­dem, wel­chen Weg sie durch die Kas­ka­de genom­men hat. So etwas nennt man ger­ne auch “Gal­ton­brett” und der­ar­ti­ge Anord­nun­gen wer­den meist als Lehr­bei­spie­le für kom­bi­na­to­ri­sche Betrach­tun­gen im Zusam­men­hang mit Wahr­schein­lich­keits­rech­nung benutzt.

In unse­rem Fall jedoch soll das Gal­ton­brett als Sinn­bild für die fort­ge­setz­te Hin­ter­ein­an­der­aus­füh­rung unse­res obi­gen Ein­zel­ex­pe­ri­ments her­hal­ten. Dabei wird das jeweils nächs­te Ein­zel­ex­pe­ri­ment offen­sicht­lich immer auf das Ergeb­nis des jeweils vor­an­ge­gan­ge­nen Ein­zel­ex­pe­ri­ments ange­wen­det.

Moment mal – fort­ge­setz­te Hin­ter­ein­an­der­aus­füh­rung auf Basis des jeweils zuletzt ent­stan­de­nen Ergeb­nis­ses? Da klin­gelt doch was…

Bin­go! Genau das haben wir mit dem im sechs­ten Teil die­ser Bei­trags­se­rie vor­ge­stell­ten Man­del­brot-Trans­for­ma­tor gemacht:

Wir haben immer wie­der die­sel­be Berech­nungs­for­mel auf das jewei­li­ge Ergeb­nis der vor­an­ge­gan­ge­nen Anwen­dung die­ser For­mel ange­wen­det. Im ach­ten Teil die­ser Bei­trags­se­rie haben wir die­ses Vor­ge­hen zudem mit dem “Stille-Post”-Prinzip ver­gli­chen, bei dem die fort­ge­setz­te Anwen­dung einer im Ein­zel­nen noch recht ein­fa­chen Ver­än­de­rung nach genü­gend vie­len Durch­läu­fen die­ser Art zu voll­kom­men unvor­her­seh­ba­ren Ergeb­nis­sen führt:

Und genau hier tref­fen Cha­os­for­schung und Frak­ta­le nach der Art der Man­del­brot­men­ge auf­ein­an­der: auch in der Cha­os­for­schung betrach­tet man Ein­zel­vor­gän­ge, deren fort­ge­setz­te Anwen­dung auf das jewei­li­ge Ergeb­nis des vor­an­ge­gan­ge­nen Expe­ri­ment­durch­laufs über kurz oder lang zu voll­kom­men unvor­her­seh­ba­ren Resul­ta­ten führt. Alle moder­nen Wet­ter- und Kli­ma­mo­del­le basie­ren letzt­lich auf die­sem Prin­zip. Und gera­de weil es sich dabei um chao­ti­sche Sys­te­me han­delt, sind die Vor­her­sa­gen die­ser Model­le oft unzu­rei­chend. Das weiß jeder, der schon ein­mal ver­sucht hat, anhand der Wet­ter­vor­her­sa­ge ver­läss­lich zu ermit­teln, ob es zwei Tage spä­ter um 15:00 Uhr in einem bestimm­ten Stadt­teil reg­nen wird. 

Dass die Cha­os­for­schung qua­si zeit­gleich mit der frak­ta­len Geo­me­trie zu enor­mer Popu­la­ri­tät gefun­den hat, ist letzt­lich der sei­ner­zeit erst­ma­lig gege­be­nen Ver­füg­bar­keit hin­rei­chend schnel­ler Rech­ner­sys­te­me zu ver­dan­ken, denn erst durch die Rechen­leis­tung dama­li­ger Daten­ver­ar­bei­tungs­an­la­gen konn­te die Brauch­bar­keit der mathe­ma­ti­schen Model­le für chao­ti­sche Sys­te­me expe­ri­men­tell über­prüft wer­den. Anfang der 1990er Jah­re war die Cha­os­for­schung daher so popu­lär, dass sie 1993 sogar in Gestalt des von Jeff Gold­blum ver­kör­per­ten Cha­os­for­schers “Dr. Ian Mal­colm” in Ste­ven Spiel­bergs Block­bus­ter “Juras­sic Park” Ein­zug gehal­ten hat. Dr. Mal­colm stand dabei für die mah­nen­de Stim­me, die immer wie­der vor der Unvor­her­sag­bar­keit der Fol­gen der­art mas­si­ver Ein­grif­fe in die Natur gewarnt hat und damit ange­sichts des völ­lig außer Kon­trol­le gera­te­nen Gesche­hens im Juras­sic Park auf dra­ma­ti­sche Wei­se recht behal­ten soll­te.

Frak­ta­le Finanz­welt

Nun ja, die von Man­del­brot pos­tu­lier­te frak­ta­le Geo­me­trie mag vie­le Phä­no­me­ne in unse­rer rea­len Welt adäqua­ter Beschrei­ben als die tra­di­tio­nel­le Geo­me­trie, und auch die Cha­os­for­schung hat zwei­fel­los ihre Bedeu­tung für unse­re rea­le Welt. Wir wis­sen jetzt, dass Roma­nes­co-Pflan­zen und Wol­ken mit frak­ta­len Aus­drucks­mit­teln eben­so prä­zi­ser beschrie­ben wer­den kön­nen, wie die Län­ge der bri­tan­ni­schen Küs­ten­li­nie. Aber das ging ja doch auch schon vor Man­del­brot für unse­ren täg­li­chen Bedarf gut genug.  Und dass uns mit der Cha­os­for­schung nun­mehr wohl­fundier­te Aus­drucks­mit­tel zur Ver­fü­gung ste­hen, um die man­geln­de Ver­läss­lich­keit unse­rer Wet­ter­vor­her­sa­gen zu bewei­sen, mag uns zu Wohl­ge­fal­len gerei­chen, weil unser immer schon vor­han­de­nes Bauch­ge­fühl jetzt end­lich auch wis­sen­schaft­lich unter­mau­ert wer­den kann. Aber letzt­lich war unser Bauch­ge­fühl für die Anfor­de­rung unse­res All­tags doch auch schon gut genug.

Was also hat Man­del­brots Wir­ken mit unse­rer all­täg­li­chen Erfah­rungs­welt zu tun?

Es scheint, als hät­te sich auch Man­del­brot an einem bestimm­ten Punkt sei­nes Lebens die­se Fra­ge gestellt. So schreibt er dazu in sei­nem Auf­satz “Frac­tal and Mul­ti­frac­tal Finan­ce” (“Frak­ta­le und mul­ti­frak­ta­le Finan­zen”), dass er sich schon in den frü­hen 1960er Jah­ren mit der mathe­ma­ti­schen Model­lie­rung des Gesche­hens am inter­na­tio­na­len Finanz­markt beschäf­tigt hat – ein The­ma also, dass in der Tat uns alle etwas angeht. In den frü­hen 1970er Jah­ren hat Man­del­brot die­sen The­men­kom­plex wie­der auf­ge­grif­fen und auf die Bedeu­tung der von ihm ein­ge­führ­ten “Mul­ti­frak­ta­le” für die Beschrei­bung des Finanz­markt­ge­sche­hens hin­ge­wie­sen.

Im Lau­fe sei­nes wei­te­ren Lebens kam er dann immer wie­der auf die Idee zurück, die kom­ple­xen Zusam­men­hän­ge des Finanz­markt­ge­sche­hens mit frak­ta­len Prin­zi­pi­en zu beschrei­ben, bis er schließ­lich all sei­ne dies­be­züg­li­chen Über­le­gun­gen in sei­nem 2004 erschie­ne­nen Buch “The (Mis)Behaviour of Mar­kets: A Frac­tal View of Risk, Ruin and Reward” (“Das (Fehl-)Verhalten der Märk­te: eine frak­ta­le Sicht auf Risi­ko, Zusam­men­bruch und Beloh­nung”) zusam­men­ge­tra­gen und gemein­sam mit dem Jour­na­lis­ten Richard L. Hud­son aus­führ­lich dar­ge­legt hat.

So wirk­lich zu einem wis­sen­schaft­li­chen Durch­bruch für die Model­lie­rung der kom­ple­xen Zusam­men­hän­ge am Finanz­markt hat es Man­del­brot mit sei­nem frak­ta­len Ansatz aller­dings nicht gebracht. Letzt­lich konn­te er mit sei­nen Über­le­gun­gen aber alle­mal eine mathe­ma­tisch fun­dier­te Begrün­dung dafür lie­fern, dass es immer wie­der zu unvor­her­seh­ba­ren Groß­ereig­nis­sen in der Finanz­welt kom­men wird. Die grund­sätz­li­che Erkennt­nis, dass die her­kömm­li­chen Metho­den zur Model­lie­rung des Finanz­markt­ge­sche­hens unzu­rei­chend sind und daher aller Wahr­schein­lich­keit nach ein grund­sätz­li­ches Umden­ken bei der Wahl des Model­lie­rungs­an­sat­zes erfor­der­lich ist, lässt sich ja auch tat­säch­lich nicht so ein­fach von der Hand wei­sen. Wirk­lich ver­läss­li­che Vor­her­sa­gen über mit­tel- bis lang­fris­ti­ge Ent­wick­lun­gen in der Finanz­welt sind jeden­falls bis heu­te kaum mög­lich, und dass es daher wirk­lich zu unvor­her­seh­ba­ren Groß­ereig­nis­sen kom­men kann, hat die US-Immo­bi­li­en­kri­se mit der dra­ma­ti­schen Fol­ge der bis dahin voll­kom­men undenk­ba­ren Leh­man-Bro­thers-Insol­venz im Jah­re 2008 ein­drucks­voll bewie­sen. Immer­hin hat der Best­sel­ler­au­tor Nas­sim Nicho­las Tal­eb Man­del­brots oben erwähn­tes Buch als das “tief­grün­digs­te und rea­lis­tischs­te Finanz­buch, das je ver­öf­fent­licht wur­de” bezeich­net. Das will schon etwas hei­ßen

Abschied

Benoît Man­del­brot starb 85-jäh­rig am 14. Okto­ber 2010 in einem Hos­piz in Cam­bridge, Mas­sa­chu­setts an einem Pan­kre­as­kar­zi­nom. Sein Tod fand gro­ße Beach­tung – und zwar nicht nur in der wis­sen­schaft­li­chen Gemein­de, son­dern weit dar­über hin­aus in der all­ge­mei­nen, welt­wei­ten Pres­se. Das Word-Wide-Web ist jeden­falls voll von Nach­ru­fen auf Man­del­brot, wie sie in den ein­schlä­gi­gen Gazet­ten die­ser Welt nach sei­nem Tod erschei­nen sind. Beson­ders deut­lich hat sich der renom­mier­te deut­sche Frak­tal- und Com­pu­ter­gra­fik­for­scher Hans-Otto Peit­gen in sei­nem Nach­ruf auf Man­del­brot geäu­ßert. So schrieb er, Man­del­brot sei “eine der wich­tigs­ten Per­sön­lich­kei­ten der letz­ten fünf­zig Jah­re für die Mathe­ma­tik und deren Anwen­dung in der Natur­wis­sen­schaft” gewe­sen. 

Ich selbst – qua­si als jugend­li­cher Zeit­zeu­ge des anbre­chen­den frak­ta­len Zeit­al­ters – kann jeden­falls bestä­ti­gen, dass Man­del­brots frak­ta­le Geo­me­trie, vor allem aber die welt­be­kann­ten Visua­li­sie­run­gen sei­nes nach ihm benann­ten Flag­schiff-Frak­tals, wie kaum etwas ande­res zum Sinn­bild einer neu­en Welt­sicht und eines mit ihr ein­her­ge­hen­den Bewusst­seins­wan­dels gewor­den sind: das Apfel­männ­chen steht zeit­ge­schicht­lich gese­hen für die schier gren­zen­lo­se Erwei­te­rung unse­res Wis­sens­ho­ri­zonts, den uns die Com­pu­ter­tech­no­lo­gie ver­schaf­fen kann – gleich­sam also für die Mecha­ni­sie­rung wenn nicht gar Indus­tria­li­sie­rung unse­res Den­kens.

Ästhe­tisch gese­hen ist das Apfel­männ­chen hin­ge­gen nicht weni­ger als die bild­ge­wor­de­ne Fas­zi­na­ti­on für die Rein­heit des mathe­ma­ti­schen Den­kens. Unend­lich rei­che, belie­big kom­ple­xe und umwer­fend schö­ne For­men, die sich aus nichts ande­rem als der Hin­ter­ein­an­der­an­wen­dung einer denk­bar simp­len Rechen­vor­schrift erge­ben – ganz so, als hät­te die­ses For­men­wun­der nur auf die Erfin­dung unser Rechen­ma­schi­nen gewar­tet, um uns die Per­fek­ti­on unse­rer eige­nen abs­trak­ten Gedan­ken­kon­struk­tio­nen zu offen­ba­ren. Das ist für mich per­sön­lich das wah­re Ver­mächt­nis die­ses eigen­wil­li­gen Exzen­tri­kers namens Benoît Man­del­brot!

Möge sein Andenken auf ewig in Ehren gehal­ten sein.

Epi­log

Ich habe mal geschaut, wann ich die ers­ten Zei­len mei­ner Blog­bei­trags­se­rie zur Man­del­brot­men­ge ver­fasst habe. Das war im Novem­ber 2017. Jetzt ist April 2019. Das The­ma hat mich also nun wahr­lich schon eine gan­ze Wei­le beglei­tet.

Dass ich vie­le von Euch dabei abge­hängt haben mag – und zwar trotz aller red­li­chen Vor­sät­ze, genau das zu ver­mei­den – darf mich, rück­bli­ckend gese­hen, nicht wun­dern. Es gibt ver­mut­lich kei­nen Weg, die Hin­ter­grün­de der Man­del­brot­men­ge ein­fach und gleich­zei­tig tief­grün­dig genug zu ver­mit­teln, um die Fas­zi­na­ti­on, die von ihr aus­geht, wirk­lich begreif­bar zu machen. Damit muss ich mich wohl abfin­den.

Wenn ich aber so reka­pi­tu­lie­re, mit wel­cher Hin­ga­be ich immer wie­der alles dar­an gesetzt habe, trotz­dem mit mei­nem Ansin­nen zu Euch allen durch­zu­drin­gen, dann kann ich zumin­dest eins für mich in Anspruch neh­men: ich habe dabei eine Men­ge über mich selbst gelernt. Aber, um es mit Micha­el Endes berühm­ten Wor­ten zu sagen: das ist eine ande­re Geschich­te und soll – viel­leicht – ein ander­mal erzählt wer­den.

Alles Lie­be

Dani­el

 

2 Kommentare

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  • Ein lehr­rei­cher, fun­dier­ter, lei­den­schaft­lich geschrie­be­ner und vor allem wür­di­ger Abschluss einer fas­zi­nie­ren­den Serie! Dan­ke für den gro­ßen Ein­satz und die durch­weg gelun­ge­ne Umset­zung!

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