Kategorie: Anschauliche Mathematik

Hallo Ihr Lieben,

nachdem wir uns fünf Beiträge und etliche Zusatzbeiträge lang mit Zahlentheorie herumgeschlagen haben und uns dann zwei weitere Beiträge lang mit Definition und Feststellung der Zugehörigkeit zur Mandelbrotmenge sowie den berechnungsmäßigen Fragen ihrer Visualisierung befasst haben, sind wir jetzt endlich an dem Punkt angelangt, an dem wir uns auf jenen Aspekt fokussieren können, den ich im einleitenden Beitrag zu dieser Serie als Teaser in den Vordergrund gestellt hatte: die umwerfende Schönheit und bestechende Ästhetik der Mandelbrotmenge und ihrer Visualisierungen [ein Absatz bestehend aus einem einzigen Satz – mein Deutschlehrer hätte mir die … naja, Ihr wisst schon].

Wir wissen ja seit dem letzten Beitrag, dass diese Visualisierung der Mandelbrotmenge bzw. ihrer Teilausschnitte nichts anderes ist, als die Einfärbung von Bildpunkten (Pixeln) auf unserem Display mit einer Farbe, die sich daraus ergibt, ob das jeweils betrachtete Pixel zur Mandelbrotmenge gehört (und damit traditionell in Schwarz dargestellt wird) oder, falls nicht, wieviele Durchläufe durch den Mandelbrot-Transformator man gebraucht hat, um eben diese Tatsache festzustellen (also bis erstmals eine Zahl größer 2 aus dem Transformator ausgeworfen wurde). In letzterem Fall wird je nach dieser sogenannten „Abbruchanzahl“ eine bestimmte Farbe für das entsprechende Pixel ausgewählt. Wie man diese Farben sinnvoller Weise auswählt, hatten wir ebenfalls einigermaßen ausführlich im letzten Beitrag diskutiert.

Außerdem hatten wir uns dort mit der Frage beschäftigt, wie man immer tiefer in die Mandelbrotmenge hineinzoomen kann, was soviel heißt, wie sich von seinem Rechner immer kleinere Ausschnitte visualisieren zu lassen. Dabei haben wir auf das Problem verwiesen, dass man es beim Visualisieren zunehmend kleinerer Ausschnitte sowohl mit den Grenzen der Rechengenauigkeit als auch mit stark wachsenden Abbruchanzahlen zu tun bekommt. Beides wirkt sich ungünstig auf die Berechnungszeit für die Darstellung solcher stark vergrößerten Bereiche der Mandelbrotmenge aus – ein Problem, dem nur wenige Nerd-mäßige Programme mit Hilfe ausgeklügelter Tricks beizukommen in der Lage sind.

Einblicke

Doch jetzt soll es mal gut sein mit all den technisch/theoretischen Betrachtungen. Ich hatte ja am Ende des letzten Beitrags viele bunte Bilder und Animationen versprochen. Damit wollen wir also gleich mal anfangen. Ihr werdet mir aber bitte nachsehen, wenn ich diese optischen Leckerbissen gleichzeitig zum Anlass nehme, um an ihnen ein paar (wie ich finde) ebenso interessante wie bemerkenswerte Eigenheiten der Mandelbrotmenge zu erläutern (ja, ich höre es schon: „er kann halt einfach nicht aus seiner Haut…“)

Beginnen wir jetzt mal mit einer der bedeutsamsten Eigenschaften der Mandelbrotmenge, nämlich der sogenannten „Selbstähnlichkeit“. Der 1924 in Warschau geborene und später vor allem in den USA tätige Wissenschaftler und Universalgelehrte Benoît Mandelbrot (erwähnte ich eigentlich schon, dass die Mandelbrotmenge nach ihm benannt ist?) begann in den 1960er Jahren seine computergestützten Forschungen an sogenannten „Julia-Mengen“ – mathematische Objekte, die mit der Mandelbrotmenge eng verwandt sind. In diesem Zusammenhang prägte er den Begriff „Fraktal“ für Strukturen, deren wichtigste Charakteristik die sogenannte „Selbstähnlichkeit“ ist. Wir alle kennen das aus ganz natürlichen Zusammenhängen. Eines der prägnantesten Beispiele für eine in diesem Sinne fraktale Struktur ist etwa die Romanesco-Pflanze:

Man sieht deutlich, dass sie aus lauter kleinen Kopien ihrer selbst besteht, die ihrerseits wiederum aus noch kleineren Kopien ihrer selbst bestehen und so weiter. Diese Selbstähnlichkeit finden wir auch in der Mandelbrotmenge. Dazu habe ich Euch zwei kleine Animationen erzeugt, anhand derer das gut zu erkennen ist:

Diese Animation zoomt auf die komplexe Zahl mit dem reellen Anteil -1,40115518909599799 und dem imaginären Anteil -0.0000000000025077 zu. Auf dem Weg dahin seiht man immer wieder mehr oder weniger identische Kopien des Apfelmännchens vorbeifliegen. Zuletzt zoomen wir dann in den „Hintern“ eines solchen Apfelmännchens hinein (sorry für jedwedes Kopfkino, das ich damit in Gang gesetzt haben sollte) und finden ein Weiteres inmitten der filigranen Strukturen, die sich in diese Tal-artige Öffnung hineinziehen.

Bereits im letzten Teil hatte ich an entsprechender Stelle erwähnt, dass diese Kopien („Satelliten“ oder auch gerne einfach mal „Minibrote“ genannt) immer und immer wieder in den Tiefen der Mandelbrotmenge auftauchen. Wer von Euch gerne mal mit der weiter unten empfohlenen Software danach suchen will, dem sei der Tipp mitgegeben, dass sich diese Satelliten vorzugsweise an Knotenpunkten finden lassen, die von genau vier der überall anzutreffenden filigranen Verästelungen gebildet werden. Hier ein Beispiel für so einen Knotenpunkt und das darin zu findende Minibrot als kleine Bildsequenz:

 

Als zweites wollte ich Euch mal zeigen, dass das Apfelmännchen erkennbar unendlich viele „Köpfe“ hat:

Hier zoomen wir jeweils auf die kreisförmige Struktur zu, die sich ganz vorne am „Kopf“ des Apfelmännchens befindet. Diese hat ihrerseits wieder einen solchen Kopf, der auch wieder so einen Kopf hat und so weiter. Ein Ende dieses Aufbaus gibt es übrigens nicht. Wenn man Zeit genug hätte, könnte man für alle Ewigkeit weiterzoomen und würde niemals auf einen allerletzten Kopf stoßen.

Das führt uns zu der zweiten wichtigen Eigenschaft fraktaler Strukturen: ihr Rand ist im Wesentlichen unendlich komplex. Soll heißen: egal, wie stark man den Rand vergrößert, man kommt nie an den Punkt, wo er sich aus „glatten“ Elementen zusammensetzt. Das ist im Grunde so, wie man es von Küstenlinien her kennt. Jede Bucht setzt sich aus kleineren Einbuchtungen zusammen und jede dieser Einbuchtungen hat ihrerseits einen gezackten oder gewellten Küstenlinienverlauf. Das Ganze kann man letztlich bis auf die Sandkörner herunterbrechen – und nicht mal die haben unter der Lupe betrachtet eine glatte Oberfläche:

Was wir hier für den „Kopf“ des Apfelmännchens gesehen haben, gilt natürlich gleichermaßen für all jene kreisartigen Elemente, die sich den Rand des Apfelmännchens entlang hinziehen, wie  in folgender Animation zu sehen ist:

Eine ebenso interessante wie schwer vorstellbare Folge dieses Phänomens ist der Umstand, dass der Rand der Mandelbrotmenge keine endliche Länge hat. Stattdessen ist er tatsächlich unendlich lang. Das ist vor allem deshalb befremdend, weil der Flächeninhalt der Mandelbrotmenge demgegenüber endlich ist. Andererseits: wer von Euch sich mal die Mühe macht, etwa mit der weiter unten empfohlenen Software den Grenzbereich der Mandelbrotmenge zu erkunden, wird sich möglicherweise doch wiederum vorstellen können, dass die „Küstenlinie“ der Mandelbrotmenge nicht endlich sein kann, da sie unter jeder beliebigen Vergrößerungsstufe immer wieder genauso zerklüftet erscheint.

Grenzenlose Grenze

Dass der Rand des Apfelmännchens unendlich lang ist, wurde im Jahre 1998 implizit vom japanischen Mathematiker Mitsuhiro Shishikura bewiesen. Selbstverständlich werde ich Euch diesen Beweis hier nicht zumuten (ich habe ihn – offen gesagt – auch mir selbst nicht zugemutet). Wie es aber generell sein kann, dass der Rand einer geometrischen Form mit endlichem Flächeninhalt unendlich sein kann, sei Euch am sehr viel einfacheren Beispiel der 1904 vom schwedischen Mathematiker Helge von Koch erfundenen und entsprechend nach ihm benannten Koch-Flocke demonstriert. Diese wird wie folgt erzeugt:

Man beginnt mit einem einfachen gleichseitigen Dreieck:

Im nächsten Schritt knöpft man sich jede Seite dieses Dreiecks vor und teilt sie in drei gleichgroße Abschnitte ein. Für die Seite ganz oben im Bild sieht das so aus:

Anschließend nimmt man den Mittleren der drei so geschaffenen Abschnitte und klappt ihn um 60° gegen den Uhrzeigersinn nach oben:

Schließlich verbindet man die entstandene Lücke wieder mit einer geraden Linie:

Es sollte offensichtlich sein, dass diese letzte Linie genauso lang ist wie das zuvor nach oben geklappte Segment – also ein Drittel so lang, wie die ursprüngliche Linie, die wir in drei gleichgroße Teile geteilt haben. Insgesamt haben wir jetzt also vier Segmente, die allesamt so lang sind wie ein Drittel der Ausgangslinie. Mit anderen Worten: die neue Linie hat also vier Drittel der Länge unserer Ausgangslinie.

Wenn man das nun mit allen drei Seiten des obigen Dreiecks macht, erhält man ein Hexagramm:

Der Rand dieses Hexagramms hat offenbar vier Drittel der Länge, die der Rand unseres ursprünglichen gleichseitigen Dreiecks hatte (ich habe jede der drei Seiten unseres Dreiecks durch eine Linie ersetzt, die um vier Drittel länger ist als die jeweilige Ursprungsseite).

Als nächstes nimmt man wieder jede einzelne Seite der zuletzt erzeugten Form, teilt sie wieder in drei gleichgroße Abschnitte, klappt den Mittleren davon wieder um 60° gegen den Uhrzeigersinn nach oben und verbindet die entstehende Lücke wieder mit einer graden Linie. Das Ergebnis sieht dann wie folgt aus:

Wiederum ist der Rand dieser Form um vier Drittel länger als der Rand der zuletzt betrachten Form. Das Spiel kann man jetzt nochmals wiederholen und erhält folgende Form:

Und auch hier ist der Rand wieder vier Drittel so lang wie der Rand unserer vorangegangenen Form. Nun setzen wir dieses Spiel einfach bis in die Unendlichkeit fort. Die entstehende Form sieht dann grob gezeichnet ungefähr so aus:

Wer den Entstehungsprozess der Koch-Flocke und die fraktale Gestalt ihres Rands lieber animiert sehen will, für den habe ich ein recht anschauliches Video auf YouTube gefunden:

Und wie lang ist jetzt der Rand der Koch-Flocke?

Nehmen wir mal an, der Rand unseres Ausgangsdreiecks hätte die Länge 1 gehabt, dann hätte das Hexagramm im ersten Schritt unseres Verlängerungsprozesses die Länge 4/3. Im nächsten Schritt hätten wir dann eine Form der Länge 4/3×4/3 bzw. (4/3)² erhalten. Damit erhalten wir im dritten Schritt die Länge (4/3)³, im Vierten (4/3)⁴, im Fünften (4/3)⁵ usw. Da 4/3 größer als 1 ist (ungefähr 1,333333), wächst Rand mit jedem Schritt tatsächlich – nämlich auf rund 133,33% der Randlänge der jeweiligen Vorgängerform. Das wäre anders, wenn wir es z.B. mit 3/4 – also 0,75 – zu tun gehabt hätten. Dann wäre die Randlänge mit jedem Schritt nur 75% des vorangegangenen Schrittes. In unserem Fall wächst sie stattdessen – wie gesagt – mit jedem Schritt auf 133,33% der bisherigen Länge.  Das folgende Diagramm zeigt für eine angenommene Ausgangslänge von 1 die Länge der Ränder für die ersten 17 Schritte:

Man sieht deutlich, dass wir es hier sogar mit einem nicht-linearen Wachstum zu tun haben (soll heißen: die orangebraune Linie ist gekrümmt und nicht gerade). Praktisch heißt das, dass wir zwar neun Schritte brauchen, um die Länge von 10 erreichen, danach aber gerade mal weitere acht Schritte, um die Länge von 100 zu erreichen. Die Randlänge verzehnfacht sich also alle acht bis neun Schritte. Da wir aber das Ergebnis der unendlichen Fortsetzung dieses Prozesses betrachten wollen, ist demnach auch die Länge des Randes der auf diese Weise definierten Form ebenfalls unendlich.

Und was ist jetzt mit dem Flächeninhalt?

Der muss endlich sein, was sich Euch anhand folgender Darstellung erschließen sollte:

Man sieht hier die verschiedenen Formen, die sich im Laufe des oben beschriebenen Prozesses zur Erzeugung der Koch-Flocke ergeben. Und allesamt befinden sich eindeutig innerhalb des roten Umkreises um unser Ausgangsdreieck. Es bedarf hoffentlich keiner weiteren Erläuterung, dass dieser Umkreis einen endlichen Flächeninhalt hat (Ihr wisst schon: π×r², wobei r der Radius des Kreises ist, der seinerseits eine erkennbar endliche Länge hat). Wenn nun aber jede der Formen in der unendlichen Folge, wie wir sie oben beschrieben haben, innerhalb dieses Kreises mit endlicher Fläche liegt, müssen sie allesamt ebenfalls eine endlich große Fläche haben, denn eine unendlich große Fläche kann nicht in einer endlich großen Fläche enthalten sein.

Ist doch klar – oder? Nein? Aldä: wenn passt konkrret in endlische Sache rrein, kann nix unendlisch grross sein!

Man kann die Endlichkeit des Flächeninhalts der Koch-Flocke natürlich auch algebraisch beweisen. Aber das will hier garantiert keiner von Euch sehen.

Für die Mandelbrotmenge ist die Unendlichkeit ihrer Randlänge nicht so offensichtlich. Das Prinzip, aufgrund dessen sie einen unendlich langen Rand hat, ist jedoch letztlich dasselbe, wie soeben für die Koch-Flocke gezeigt. Trotzdem irgendwie erstaunlich, oder?

Drachen, Zepter und Seepferdchen

Jetzt aber mal wieder zurück zu den visuellen Reizen der Mandelbrotmenge. Die vielen Nerds, die im Laufe der Jahre auf Entdeckungsreise in die Mandelbrotmenge eingetaucht sind, haben sich die Mühe gemacht, einigen Regionen des Apfelmännchens konkrete Namen zu geben, die von den visuellen Eigenheiten der jeweiligen Region inspiriert wurden. Eines davon ist beispielsweise das sogenannte „Seahorse Valley“ („Seepferdchental“), in das wir mit folgender Animation eintauchen wollen:

Mal abgesehen von den vielen kleinen Satelliten („Minibroten“), denen wir andauernd wieder begegnen, fällt auf, dass die allenthalben dominierenden Schnörkel starke Ähnlichkeit mit der Seitenansicht eines Seepferdchens haben:

Gar nicht so weit vom Seahorse Valley entfernt befindet sich das sogenannte „Dragon Valley“ („Drachental“), das wir uns in folgendem Clip mal näher ansehen wollen:

Die hier anzutreffenden Muster erinnern stark an die allseits bekannten klassischen Darstellungen chinesischer Drachen:

In unmittelbarer Nähe des Dragon Valleys liegt das sogenannte „Scepter Valley“ („Zeptertal“), das in folgender Animation erkundet wird:

Charakteristisch sind hier die überall herausragenden verschnörkelten Spitzen, die an die reichhaltigen Verzierungen an den Köpfen königlicher Zepter erinnern:

Tatsächlich ist es so, dass jede Region der Mandelbrotmenge ihre ganz eigenen visuellen Erscheinungen hervorbringt, die sich zwar alle irgendwie ähneln, dennoch aber niemals identisch zu anderen Regionen sind. Und das wirklich Fantastische daran ist der Umstand, dass man immer und immer wieder auf neue Formvariationen stößt, wenn man tiefer in die Details der Mandelbrotmengendarstellung eintaucht.

Strukturelle Geheimnisse

Wie aber entstehen all diese Formen? Es ist ja nicht so, dass sich hier irgendjemand bewusst ein Schema zur Erzeugung derart variantenreicher, komplexer Formen ausgedacht hat. Vielmehr ergibt sich dieser Formenreichtum aus unverrückbaren Gesetzmäßigkeiten, die dem mathematischen Prinzip der Mandelbrotmenge implizit innewohnen – und zwar ganz ohne dass irgendjemand die Mandelbrotmenge bewusst mit diesen Eigenschaften oder gar zu diesem Zweck definiert hätte. Es offenbaren sich hier hochgradig verblüffende Strukturen, die man der simplen Formel, mit deren Hilfe die Mandelbrotmenge definiert ist, schlichtweg weder angesehen noch zugetraut hätte.

Erinnern wir uns nochmals: all diese Formen enstehen aus der Abbruchanzahl der fortgesetzten Durchläufe durch unseren Mandelbrottransformator, die für jedes Pixel der hier gezeigten Bilder einzeln festgestellt wird. Dabei geschieht nichts anderes, als mit Null beginnend fortlaufend die jeweils zuletzt ausgegebene Zahl mit sich selbst zu multiplizieren und die voreingestellte Zahl (die dem gerade untersuchten Pixel zugeordnet ist) zum Ergebnis dieser Multiplikation hinzuzuaddieren. Wie also kann es sein, dass so ein schlichter Vorgang derart wundersame, unendlich variationenreiche Strukturen hervorbringt?

Ein Ansatzpunkt zum Verständnis dieses Variationenreichtums ist das Prinzip der fortwährenden Wiederholung (Iteration), mit deren Hilfe die Zugehörigkeit einer Zahl zur Mandelbrotmenge ja bestimmt wird. Schlicht und simpel ist nämlich eigentlich nur der einzelne Berechnungsschritt (eingegebene Zahl mit sich selbst multiplizieren, Testzahl hinzuaddieren und das Ergebnis ausgeben). Während man sich für so eine recht einfache Einzelrechnung noch ganz gut vorstellen kann, was ungefähr dabei herauskommen wird, ist es kaum noch vorhersehbar, was nach zwei oder gar drei Durchläufen herauskommen wird. Und nach hundert, tausend oder einer Milliarde Durchläufen natürlich erst recht nicht.

Das Ganze hat gewisse Ähnlichkeiten mit dem allseits bekannten „Stille-Post-Prinzip“: jeder Einzelne gibt den ihm zugeflüsterten Satz aufgrund möglicher Verständnisprobleme mit leichten Veränderungen an die nächste Person weiter. Diese einzelne Veränderung ist meist noch sehr nahe bei dem, was man tatsächlich zugeflüstert bekommen hat. Nach ein paar Durchläufen dieser Art ist aber kaum noch etwas vom ursprünglichen Satz übrig und niemand kann vorhersagen, was beim Letzten in der Reihe ankommen wird.

 

Bei den Durchläufen durch den Mandelbrot-Transformator ist es ähnlich: der einzelne Berechnungsschritt ist simpel und (relativ gut) vorhersehbar, gleichwohl das Rechnen mit komplexen Zahlen an sich schon kein gar so simpler Vorgang mehr ist (wer das genauer verstehen will, sei auf meinen eigens zum Rechnen mit komplexen Zahlen verfassten Blogbeitrag verwiesen). Was aber nach mehrfacher Hintereinanderausführung solcher Berechnungen herauskommt, ist alles andere als intuitiv vorhersehbar.

Jetzt haben wir also eine Idee dazu entwickelt, warum es schwer vorhersehbar ist, was nach einer gewissen Anzahl an Transformatordurchläufen für eine vorgegebene Zahl herauskommen wird. Wenn es jedoch tatsächlich so ist, dass für jedes Pixel eine derart unvorhersehbare Abbruchanzahl entsteht, sollte man doch meinen, dass man ein ziemlich chaotisches Bild zu erwarten hätte, wenn man sich die Abbruchanzahlen benachbarter Bildpunkte nebeneinander ansieht. Dem ist aber, wie wir oben gesehen haben, eben gerade nicht so. Vielmehr entstehen diese unglaublich regelmäßig und dennoch variantenreich strukturierten Formen, die also alles andere als chaotisch und beliebig aussehen. Um das nochmals in aller Deutlichkeit zu illustrieren, habe ich Euch zwei weitere Bilder generiert, die jeweils verblüffende Formen aus dem unerschöpflichen Reservoir des Apfelmännchens zeigen:

Hier sieht man einen Satelliten (ein „Minibrot“) inmitten einer Struktur, die auffällig an die farbenprächtige Blüte einer frisch geöffneten Sommerblume erinnert.

Diese Struktur erinnert hingegen stark an einen Schmetterling – inklusive der „Fühler“, die am oberen Bildrand in der Mitte zu sehen sind.

Die große Frage ist also, welche Gesetzmäßigkeit sich hier in der zugrundeliegenden Mathematik verbirgt, damit solche faszinierenden Muster entstehen können. Denn eines ist mal klar: wie auch immer diese Gesetzmäßigkeit aussieht – sie ist, wie oben mehrfach betont, absolut keine Designvorgabe der Mandelbrotmenge gewesen. Tatsächlich ist sie vielmehr erst durch die Möglichkeit zutage getreten, die Mandelbrotmenge mit Hilfe computergestützter Methoden zu visualisieren. Die Feststellung, dass die Abbruchanzahlen eine derartig geordnete und dennoch unendlich variantenreiche Struktur haben, ist also eindeutig das Ergebnis einer zufälligen Entdeckung und demnach gerade nicht einer gezielten Entwicklung. Eine solche Vorgehensweise war Mathematikern bis zur Entdeckung der Mandelbrotmenge ziemlich fremd und ist seither unter dem Stichwort „experimentelle Mathematik“ bekannt geworden.

Also: was weiß man über die Gesetzmäßigkeiten, nach der die visuellen Strukturen Mandelbrotmenge gebildet werden?

Formen im Dunkeln

Die traurige Wahrheit: nicht allzu viel. Obwohl – so traurig finde ich das auf den zweiten Blick dann auch wieder nicht. Es hat doch irgendwie auch etwas inspirierend Mystisches, dass unsere Mathematik nach derzeitigem Wissenstand echte Geheimnisse birgt, die sich ihr so leicht nicht abtrotzen lassen. Man muss sich das wirklich nochmals überlegen: all die fantastischen, unendlich reichen Formen der Mandelbrotmenge sind das Produkt einer vollkommen immateriellen Gedankenkonstruktion. Schon alleine die komplexen Zahlen sind ja bereits reichlich abstrakt und haben absolut kein reales Äquivalent in unserer alltäglichen Erfahrungswelt. Aber die Definition und Berechnung der Mandelbrotmenge sind wirklich Konstrukte, die ihr einsames Dasein nur im menschlichen Verstand und natürlich in den Prozessoren und Speicherbausteinen von Rechnern fristen.

Und doch offenbaren sie nicht nur unendlich variantenreiche Formen sondern lassen vieles von dem erkennen, was uns dann doch wieder aus unserer realen Erfahrungswelt bekannt vorkommt – wie eben Drachen, Seepferdchen und Schmetterlinge. Aber auch die oft baum- oder canyonartigen Verästelungen, die man allenthalben in der Mandelbrotmenge entdecken kann, lassen vermuten, dass hier Gesetzmäßigkeiten am Werk sind, die dann doch wieder einen klaren Bezug zu unserer realen Welt haben:

Nicht umsonst hat Benoît Mandelbrot ja aufgrund der Forschungen an der Mandelbrotmenge und anderer fraktaler Strukturen sein wohl berühmtestes Buch geschrieben: „Die fraktale Geometrie der Natur“ („The Fractal Geometry of Nature“). Und dennoch ist bislang nur sehr eingeschränkt verstanden, warum die komplexen Zahlen sich bezüglich der Abbruchanzahlen bei fortgesetzten Durchläufen durch unseren Transformator so verhalten, wie sie es tun.

Aber einiges weiß man dann doch über die Mandelbrotmenge, und so manches davon möchte ich Euch natürlich nicht vorenthalten:

Licht im Dunkeln

Also, was weiß man denn so über die Mandelbrotmenge?

Da wäre als erstes die Tatsache, dass die Mandelbrotmenge zusammenhängend ist. Das bedeutet, dass sie nicht aus einzelnen voneinander getrennten Inseln besteht. Stattdessen kann man jeden beliebigen Punkt der Menge von jedem anderen Punkt der Menge aus erreichen, ohne die Menge dabei verlassen zu müssen. Das ist keineswegs offensichtlich. Gerade wenn man sich die Satelliten (Minibrote) so anschaut, könnte man meinen, dass Sie vom Hauptkörper der Menge losgelöst vor sich hinschweben. Sogar Mandelbrot selbst hat das zunächst vermutet, was vor allem daran liegt, dass die ihm seinerzeit zur Verfügung stehende Visualisierungstechnik aufgrund der zu geringen Bildauflösung die Satelliten in der Tat als abgetrennte Regionen hat erscheinen lassen. Tatsächlich sind sie aber allesamt, wie bereits erwähnt, durch eine unendlich dünne, sehr filigrane aber eben doch existente Linie mit dem Hauptkörper verbunden. Diese Line schlängelt sich immer in den „Hintern“ der Satelliten (jaja ich weiß, kein Kopfkino, ist ja gut):

Den mathematischen Beweis dafür, dass die Mandelbrotmenge zusammenhängend ist, haben die beiden Mathematiker  Adrien Dadyou und John Hamal Hubbard im Jahre 1984 erbracht. Sie haben überhaupt die ersten intensiven Forschungen an der Mandelbrotmenge durchgeführt und ihnen ist es übrigens auch zu verdanken, dass die Mandelbrotmenge nach Benoît Mandelbrot benannt wurde.

Bekannt ist auch, dass der Hauptkörper ebenso wie jeder Satellit sich immer aus einer großen Kardioide (die herzartige Struktur, die den prominentesten Teil der Mandelbrotmenge bildet) und lauter angrenzenden Kreisen („Knospen“) zusammensetzt, die ihrerseits von Kreisen umgeben sind und so weiter:

Jeder dieser Bereiche (also die Kardioide, jede ihrer Knospen, jede Knospe an jeder Knospe usw.) steht für eine bestimmte Anzahl an sogenannten „Attraktoren“ um welche sich die nacheinander erzeugten Ausgabewerte des Mandelbrottransformators für jeden Punkt innerhalb des betrachteten Bereichs gruppieren.

Hä – was bitte? Wer soll den diesen Satz verstehen?

Ok, ok. Was damit gemeint sein soll, sei an folgenden Beispielen illustriert:

Zunächst schauen wir uns mal die ersten 100 Zahlen an, die unser Mandelbrot-Transformator ausgibt, wenn man ihn auf die Zahl -1+0,25×i einstellt. Diese Zahl liegt im „Kopf“ des Apfelmännchens und ist in folgender Ãœbersicht als roter Punkt zu sehen:

Wir sind dieser Zahl übrigens mal in der Animation begegnet, mit deren Hilfe ich die Funktionsweise des Mandelbrot-Transformators im sechsten Teil der hiesigen Beitragsserie veranschaulichen wollte.

Wenn man den Transformator jetzt also mit -1+0,25×i als Voreinstellung loslaufen lässt (also gerade so, wie es in besagter Animation zu sehen ist) und die ersten 100 Ausgabezahlen nacheinander als Kreuzchen in einem Koordinatensystem einträgt, ergibt sich folgendes Bild:

Die grünen Kreuze (×) zeigen diese Zahlen an. Die beiden orangen Punkte (•) habe ich eingefügt, um zu verdeutlichen, dass die grünen Kreuze sich um diese beiden Punkte zu gruppieren scheinen – fast so, als würden sie magisch von ihnen angezogen. Genau aus diesem Grunde nennt man die orangen Punkte denn auch „Attraktoren“ – sie sind quasi „Attraktionspunkte“ für die Ausgabewerte des Transformators.

Im vorliegenden Fall haben wir offenbar genau zwei solcher Attraktoren. Das ist auch in der Tat für alle Punkte im Inneren des „Kopfkreises“ der Mandelbrotmenge der Fall. Für jeden Punkt innerhalb der Kardioide haben wir hingegen immer nur genau einen Attraktor, während wir für alle Punkte in den beiden „Flügelknospen“ (also die beiden großen Kreise oben und unten an der Kardioide) immer drei Attraktoren haben. Nachstehend habe ich mal für die prominentesten Komponenten der Mandelbrotmenge die Menge der Attraktoren eingezeichnet, die sich für alle Punkte innerhalb der jeweiligen Komponente ergeben:

Faszinierender Weise kann man die Anzahl der Attraktoren für die jeweilige Komponente auch direkt an der Visualisierung selbst ablesen. Betrachten wir uns dazu den oberen der beiden „Flügel“, innerhalb dessen ja laut obiger Ãœbersicht jeder Punkt drei Attraktoren für seine Transformator-Ausgabefolge hat. In der folgenden Visualisierung habe ich Euch den Flügel vergrößert dargestellt und die Hauptäste an seinem „Geweih“ von eins bis drei mit roten Zahlen durchnummeriert:

Jawohl, richtig erkannt: drei Äste – drei Attraktoren. Dementsprechend schauen wir uns im selben Bild die große Knospe links unterhalb des „Flügels“ an, innerhalb derer laut obiger Ãœbersicht alle Punkte fünf Attraktoren in ihrer Transformatorausgabefolge haben. Und oh Wunder: ihr „Geweih“ hat fünf Hauptäste, die wir in Grün durchnummeriert haben: fünf Äste – fünf Attraktoren. Selbiges gilt auch für die große Knospe rechts unter dem „Flügel“. Bei ihr waren es vier Attraktoren und sie hat auch tatsächlich vier Hauptäste in ihrem „Geweih“ – im obigen bild mit gelben Zahlen durchnummeriert.

Auf diesem Wege kann man in der Tat für alle direkt an der Kardioide angrenzenden Knospen bestimmen, wie viele Attraktoren die Transformatorausgabefolgen für alle Zahlen innerhalb der jeweiligen Knospe haben. Allerdings wird das zunehmend schwieriger, je kleiner die Knospen werden, da die „Geweihe“ dann irgendwann eine derart verschnörkelte Gestalt annehmen, dass man die Äste kaum noch vernünftig zählen kann.

Übrigens: die Zahlen in den Transformator-Ausgabefolgen liegen um so näher an ihren Attraktoren, je näher die betrachtete Ausgangszahl am Mittelpunkt ihrer Knospe liegt. Soll heißen: eine Zahl, die genau im Mittelpunkt einer Knospe liegt, hat nur die Attraktoren selbst in ihrer Ausgabefolge – bei zwei Attraktoren wären das genau zwei Zahlen. Eine solche haben wir im sechsten Teil dieser Beitragsserie bei der Diskussion der Zugehörigkeitskriterien zur Mandelbrotmenge kennengelernt: es ist die -1 (also genau genommen die -1+0×i). Ihre Ausgabefolge bestand aus 0, -1, 0, -1, 0, -1 und so weiter. Und sie liegt denn auch genau in der Mitte des Apfelmännchenkopfes, innerhalb dessen ja laut obiger Übersicht immer zwei Attraktoren entstehen:

Damit hat die Ausgabefolge für -1 also die beiden Attraktoren 0 und -1 und alle weiteren Zahlen in der Ausgabefolge liegen exakt auf diesen Attraktoren. Je weiter man sich innerhalb des Kopfes von diesem Mittelpunkt wegbewegt, desto stärker streuen sich die Zahlen in der zum jeweils betrachteten Punkt gehörenden Ausgabefolge um die zwei zugehörigen Attraktoren. Ein Beispiel dafür haben wir oben für die Zahl -1+0,25×i gesehen, die ja auch noch innerhalb des Kopfes aber ziemlich am Rand desselben liegt. Die nachfolgend wieder als grüne Kreuze (×) dargestellten Werte der Ausgabefolge für den auf -1+0,25×i voreingestellten Mandelbrot-Transformator liegen ziemlich weit verstreut um die beiden als orange Punkte (•) dargestellten Attraktoren:

Wer von Euch sich das mit der Lage der Attraktoren zu verschiedenen Punkten der Mandelbrotmenge genauer ansehen will, kann das unter folgendem Link tun: https://www.openprocessing.org/sketch/77478. Dort sieht man zunächst eine grau schattierte Darstellung der Mandelbrotmenge. Bewegt man den Mauszeiger oder (bei Touchscreens) den Finger an einen bestimmten Punkt der Menge, so erscheinen dann für die Zahl, die dem Punkt unter dem Mauszeiger oder dem Finger entspricht, die ersten 200 Werte der Transformator-Ausgabefolge – und zwar als weiße Punkte, die jeweils dort zu sehen sind, wo die ihnen entsprechende Zahl in der komplexen Ebene verortet ist. Probiert doch mal aus, Euch langsam von der Mitte einer Knospe in ihren Randbereich zu bewegen. Man kann dann sehr eindrucksvoll sehen, wie die weißen Punkte während der Bewegung immer weiter auseinanderdriften.

Probieren geht über Studieren

Überhaupt muss man ja sagen, dass sich einem nicht nur die Sache mit den Attraktoren, sondern natürlich vor allem die Mandelbrotmenge an sich und die unglaubliche Faszination, die von ihr ausgeht, am allerbesten erschließt, wenn man sich selbst auf aktive Forschungsreise in die Tiefen des Apfelmännchens begibt. Dafür gibt es einiges an frei erhältlicher Software für die unterschiedlichsten Plattformen. Ich selbst habe einige davon im Zusammenhang mit der hiesigen Beitragsserie verwendet, so dass ich Euch ein paar erfahrungsbasierte Empfehlungen geben kann. Doch zuvor muss ich dezidiert zur Vorsicht mahnen:

Die bloße Tatsache, dass man beim Erforschen der Mandelbrotmenge im Prinzip nie an ein definiertes Ende der virtuellen Tauchfahrten gelangen kann, sorgt nicht selten dafür, dass man sich einem schier unwiderstehlichen Drang ausgesetzt sieht, ständig neue Ausschnitte des gerade eben erst vergrößerten Bereichs ansehen zu wollen. Es ist halt einfach so, dass die Mandelbrotmenge unendlich komplex strukturiert ist. Man erkauft sich daher die detailliertere Darstellung eines konkreten Ausschnitts dadurch, dass neue Strukturen zutage treten, die einen geradezu sirenengleich dazu verführen zu wollen scheinen, sie ihrerseits genauer zu inspizieren. Macht mich jetzt also bitte nicht dafür verantwortlich, dass Ihr Euch in nächster Zeit  ganze Nächte damit um die Ohren schlagt, Euch vom unwiderstehlichen Sog ihrer Ästhetik auf Nimmerwiedersehen in die endlosen Tiefen der Mandelbrotmenge hineinziehen zu lassen.

Na schön, soweit der Disclaimer. Wer es jetzt trotzdem darauf ankommen lassen will, der lese gerne weiter.

Also fangen wir mal an: auf Desktopgeräten kann man erste Gehversuche bei der Erforschung der Mandelbrotmenge mit Hilfe folgender Webseite direkt im Browser machen: http://stefanbion.de/fraktal-generator/mandelbrot.htm. Die Seite selbst wartet mit ausführlichsten Erläuterungen zur Bedienung des dort als „Fraktalgrafik-Generator“ bezeichneten Visualisierungs-Tools von Stefan Bion auf. Wer meine hiesige Beitragsserie aufmerksam gelesen hat, sollte keine allzu großen Schwierigkeiten haben, die Erläuterungen zu verstehen.

Größter Nachteil von Bions Generator ist dabei die Tatsache, dass er nur mit der eingebauten Rechengenauigkeit des Rechners arbeitet, auf dem er gerade läuft. Das führt dazu, dass man ab einer gewissen Vergrößerungsstufe nur noch grobe Pixel sieht, so dass man relativ schnell ans Ende der Möglichkeiten dieses ansonsten sehr gelungenen Generators gelangt. Immerhin rechnet er zumindest mal mäßig flott und seine Bedienung ist wirklich sehr gut im Textteil beschrieben.

Deutlich schneller rechnet MichaÅ‚ MÄ™ciÅ„skis Programm „Fraqtive“, das unter folgendem Link für Windows, MacOS und Linux heruntergeladen werden kann: https://fraqtive.mimec.org/. Mit diesem Programm habe ich z.B. das obige Titelbild zu diesem Beitrag generiert. Es ist ziemlich flott unterwegs, erlaubt sogar, eigene Zoom-Animationen zu erstellen und ist immer noch recht einfach zu bedienen. Die Hilfe-Funktion, die über den blauen Knopf mit dem Fragezeichen rechts oben im Programmfenster zu erreichen ist, halte ich für einigermaßen brauchbar. Der Rest erschließt sich am besten durch Herumprobieren. Nachteil ist aber auch hier die Begrenzung auf die eingebaute Rechengenauigkeit, so dass auch bei Fraqtive früher oder später nur noch grobe Pixel erscheinen, wenn man weit genug in das Apfelmännchen hineinzoomt.

Wer von Euch hingegen mal so richtig den Nerd machen will, der kann sich natürlich auch das von Karl Runmo entwickelte Programm „Kalles Fraktaler“ unter folgendem Link für Windows herunterladen: http://www.chillheimer.de/kallesfraktaler/. Mit ihm wurden insbesondere das Teaser-Video aus dem ersten Teil dieser Beitragsserie aber auch unzählige andere auf YouTube einsehbare Animationen erzeugt, und er darf wohl als das Flaggschiff unter den Mandelbrot-Generatoren gelten. Allerdings ist der Fraktaler nun wahrlich kein Programm für Greenhorns, denn man muss sich seine Bedienung weitestgehend selbst erarbeiten. Zwar werden auf der Website ein paar rudimentäre Worte über den Sinn der vielen Einstellungsmöglichkeiten verloren, aber wirklich erhellend ist das alles nicht.

Dafür arbeitet der Fraktaler mit den im siebten Teil meiner Beitragsserie angedeuteten Optimierungen, die es erlauben, praktisch unbegrenzt tief in die Mandelbrotmenge einzutauchen. Wer will, kann damit zudem sogar eigene Animationen erzeugen, für dies auf Bernard „Chillheimer“ Geigers Website einen Link auf ein entsprechendes Videoerzeugungs-Tool namens „KeyFramesMovie64“ gibt. Das alles ist aber – wie bereits ausgeführt – nichts für informationstechnologische Weicheier und insoweit nur eingeschränkt zum „Herumspielen“ geeignet. Wer von Euch sich hingegen ernsthaft mit der Mandelbrotmenge auseinandersetzen will, der dürfte damit gut aufgehoben sein.

Etwas gefälliger und ähnlich leistungsfähig wie Kalles Fraktaler ist Botond Kósas „Mandel Machine“, die unter folgendem Link für Windows heruntergeladen werden kann: http://web.t-online.hu/kbotond/mandelmachine/. Mit ihr habe ich die obigen Animationen sowie einige der in der hiesigen Beitragsserie gezeigten Bilder hergestellt. Auch die Mandel Machine ist aber aufgrund ihrer komplexen Benutzungsoberfläche nichts für die IT-Aversen unter Euch. Dafür ist sie immerhin recht flott unterwegs und erlaubt mit ihren komplexen Einstellungsmöglichkeiten eine sehr präzise Steuerung des Visualisierungsvorgangs. Vor allem kann man mit ihr aufgrund der verwendeten Optimierungsverfahren praktisch unendlich tief in die Mandelbrotmenge vordringen. Außerdem erlaubt dieses Programm die Verzierung der Mandelbrot-Visualisierungen mit Hilfe sogenannter „Texturen“ (hier konkret: das sogenannte „Bump Mapping“), die den Darstellungen eine Art scheinbares Relief aufsetzen, so dass sich damit wirklich sehr ansehliche Bilder erzeugen lassen:

Größter Nachteil der Mandel Machine sind allerdings das Fehlen jeglicher Dokumentation und die gelegentlichen Programmabstürze, die ich bei der recht intensiven Nutzung dieser Software bisweilen beobachten durfte. Kleiner Tipp: die Mandel Machine muss unter Windows „als Administrator“ gestartet werden, sonst kann sie ihre umfangreichen Log-Dateien nicht im Programmverzeichnis ablegen.

Für iOS habe ich mir fast alle der im AppStore erhältlichen kostenlosen Mandelbrot-Apps angesehen. Am besten gefallen haben mir „Deep Journey“ und „Fast Fractal“. „Deep Journey“ wurde leider zum Zeitpunkt der Erstellung dieses Beitrags bereits – warum auch immer – aus dem AppStore entfernt, aber „Fast Fractal“ könnt Ihr auf Eurem iOS-Gerät installieren, wenn Ihr hierauf klickt. Beide Programme können nur auf die im jeweiligen iOS-Gerät eingebaute Rechengenauigkeit zurückgreifen, wobei „Deep Journey“ ab einer bestimmten Vergrößerungsstufe in eine Art „SLOW“-Modus umschaltet, der wohl so heißt, weil die App ab dann erkennbar langsamer rechnet. Ich vermute dahinter eine Art selbstgestrickter Gleitkommarithmetik. Dennoch gelangt man auch in „Deep Journey“ ebenso wie in „Fast Fractal“ nach nicht allzu langer Zeit an ein recht jähes Ende der Zoomerei. Aber für den kleinen Mandelbrot-Snack zwischendurch sind beide bestens geeignet.

Und was jetzt?

Tja Ihr Lieben, eigentlich ist das doch ein guter Schlusspunkt für meine Beitragsserie: ich habe Euch fünf Beiträge lang mit Zahlentheorie zugelabert, etliche Zusatzbeiträge aufgesetzt, um einige der dabei angesprochenen Themen zu vertiefen und nunmehr drei Beiträge lang über die Definition, die Visualisierung und die vielen Eigenschaften der Mandelbrotmenge doziert sowie Euch einen kleinen Einblick in die Natur ihrer visuellen Faszination verschafft. Zu guter Letzt habe ich Euch dann mit dieser geballten Ladung an Erkenntnissen und Einsichten gewappnet ins selbständige Experimentieren mit dem Apfelmännchen entlassen. So ist es doch irgendwie rund, oder?

Auf jeden Fall vielen Dank für Eure Geduld, die ich zweifellos mehr als einmal bis an die Zumutbarkeitsgrenzen strapaziert haben dürfte. Ich hoffe indessen, dass Euch das trotzdem ein bisschen Spaß gemacht hat und es mir gelungen ist, Euch meine Faszination für dieses Wunderwerk der experimentellen Mathematik nahezubringen. Überhaupt ist die Mandelbrotmenge ein guter Einstieg für die Vermittlung der Faszination für Mathematik an sich. Mit den oben vorgestellten Programmen kann man sich ja eigentlich auch ohne große Vorkenntnisse an der bestechenden Schönheit der Mandelbrotmenge erfreuen, bevor man dann vielleicht doch irgendwann neugierig wird und wissen will, welch ausgeklügelte Mechanik es wohl sein mag, die in diesem ästhetischen Feuerwerk tatsächlich zum Ausdruck gelangt. Denn die Mandelbrotmenge ist in gewisser Hinsicht nichts anderes als eine besonders eindrucksvolle Möglichkeit, die bestechende Schönheit der Mathematik zu erkennen. Da sind wir uns doch einig – oder?

Also ist jetzt (endlich?) Schluss mit der Beitragsserie?

Nicht ganz. Es gehört sich ganz einfach noch, ein paar Worte über die Historie der Mandelbrotmenge zu verlieren und die vielfältigen Implikationen zu thematisieren, die ihre Entdeckung und Erforschung sowohl innerhalb als auch außerhalb der mathematischen Gemeinde hatten und immer noch haben. Daher werde ich diese Serie mit einem neunten Beitrag beschließen, in dem es um eben jene Geschichte und die vielfältigen Auswirkungen der Mandelbrotmengen-Entdeckung gehen soll. Ihr dürft also ein letztes Mal gespannt bleiben…

Alles Liebe

Daniel