Hallo Ihr Lieben,
im Rahmen meiner Beitragsserie zur Mandelbrotmenge sind wir im fünften Teil der Serie auf die Komplexen Zahlen gestoßen. In diesem Zusammenhang haben wir die sogenannten „Polarkoordinaten” kennengelernt und ich habe darauf hingewiesen, dass die Multiplikation zweier komplexer Zahlen – und mit ihr die Bildung von Wurzeln komplexer Zahlen – viel einfacher zu begreifen ist, wenn man sich anschaut, was dabei mit ihren Polarkoordinaten geschieht. Genau dies wollen wir im Folgenden tun. Betrachten wir dazu folgendes Beispiel:
Nach dem, was wir in meinem eigens dazu verfassten Beitrag gelernt haben (oder zumindest hätten lernen sollen, wenn ich meine Sache gut gemacht habe), beginnt diese Multiplikation mit dem Ausmultiplizieren des obigen Ausdrucks nach der „FOIL”-Regeil (First, Outer, Inner, Last). Dabei entsteht dann folgender Ausdruck:
Gemäß dem, was wir in meinem Beitrag zu den Komplexen Zahlen über die komplexe Ebene erfahren haben, würde das aber doch heißen, dass jedes reelle Element dieser Summe (also alle Summanden ohne i) einer Bewegung entlang der reellen Achse und jedes imaginäre Element (also alle Summanden mit i) einer Bewegung entlang der imaginären Achse entspricht. Zur besseren Übersicht haben ich die vier Teile der Summe farblich hinterlegt, so dass sie in folgender Darstellung hoffentlich einfach wiederzuerkennen sind:
Fangen wir unten links am Ursprung an und gehen 2×3 – also 6 – Einheiten nach rechts. Das entspricht dem ersten Segment aus unserer Summe. Aus didaktischen Gründen gehen wir jetzt erst einmal um 1×3 – also 3 – Einheiten nach oben. Das entspricht dem dritten Segment aus unserer Summe. Dann gehen wir 2×2 – also 4 – Einheiten nach oben. Das entspricht dem zweiten Segment aus unserer Summe. Zu guter letzt gehen wir 1×2×i×i – also 1×2×(-1) und damit ‑2 – Einheiten nach rechts. Das heißt soviel wie 2 Einheiten nach links, was dem vierten Segment aus der Summe entspricht. Der Punkt, zu dem wir auf diese Weise gelangt sind, ist jedenfalls das Ergebnis der Multiplikation von 2+1×i und 3+2×i. Der rot gestrichelte Pfeil zeigt auch schon mal den Betrag dieser Zahl an (Ihr erinnert Euch noch: der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand zwischen dem Ursprung und demjenigen Punkt, dessen Koordinaten sich aus dem reellen und imaginären Anteil der Zahl bestimmen).
Schön – und was sagt uns das jetzt?
Naja, schauen wir uns dazu nochmals unsere erste Zahl 2+1×i als Dreieck im Sinne der im Beitrag zu den Komplexen Zahlen erläuterten Polarkoordinaten an:
Wir gelangen also zu unserer Zahl, indem wir 2 nach rechts (also in reeller Richtung) und und 1 nach oben (also in imaginärer Richtung) gehen. Wenn wir uns jetzt mal die ersten beiden Pfeile in der obigen Darstellung der Multiplikation anschauen, stellen wir fest, dass der erste Pfeil gerade dreimal so lang ist wie die reelle Seite unserer ersten Zahl (nämlich 2×3=6) und der zweite Pfeil gerade dreimal so lang ist wie die imaginäre Seite unserer ersten Zahl (nämlich 1×3=3). Insgesamt haben wir damit ein Dreieck, das unserer ersten Zahl entspricht, aber dreimal so groß ist:
Danach gehen wir zweimal unsere reelle Seite nach oben (dritter Pfeil – also 2×2=4) und zweimal unsere imaginäre Seite nach links (vierter Pfeil also -1×2=-2). Damit haben wir ein weiteres Dreieck, dass unserer ersten Zahl entspricht, aber zweimal so groß ist und um 90° gegen den Uhrzeigersinn verdreht ist:
Insgesamt haben wir also jetzt zwei Kopien unseres Dreiecks zur ersten Zahl. Die erste davon ist dreimal so groß wie das Ursprungsdreieck, die zweite ist zweimal so groß wie das Ursprungsdreieck und liegt um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn verdreht über der ersten Kopie.
Betrachten wir jetzt nochmals kurz die Seitenlängen in unserem Ausgangsdreieck für die erste Zahl 2+1×i. Nach den obigen Ausführungen darüber, wie man die Länge des Betrags einer komplexen Zahl mit Hilfe des Pythagoräischen Lehrsatzes aus dem reellen und dem imaginären Teil errechnet, ergibt sich dazu folgendes:
Der Betrag unserer Zahl 2+1×i ergibt sich also aus der Wurzel aus 22+12 – also der Wurzel aus 4+1 bzw. 5. Dann muss aber der erste blaue Pfeil in der obigen Darstellung auch genau dreimal so lang sein wie die Wurzel aus 5 und der zweite blaue Pfeil zweimal so lang sein wie die Wurzel aus 5, denn es handelt sich ja um eine drei- bzw. zweifach vergrößerte Kopie unseres Ausgangsdreiecks:
Das gelbbraune Dreieck ist damit eine um die Wurzel aus 5 vergrößerte Version desjenigen Dreiecks mit der reellen Länge 3 und der imaginären Länge 2:
Oops – aber genau das ist doch das Dreieck zu unserer zweiten Zahl 3+2×i, oder? Bingo! Das ist natürlich kein Zufall, sondern genau das, was ich zeigen wollte. Wenn wir uns jetzt nämlich noch den Betrag dieser Zahl nach Pythagoras heranziehen, geht das wie folgt:
Der Betrag unserer zweiten Zahl 3+2×i ergibt sich also aus der Wurzel aus 32+22 – also der Wurzel aus 9+4 bzw. 13.
Eben haben wir aber erkannt, dass wir bei unserer Multiplikationsdarstellung eine Kopie des Dreiecks zu unserer zweiten Zahl erhalten haben, die um die Wurzel aus 5 größer ist, als das Ausgangsdreieck. Dann allerdings muss auch der Betrag dieser Zahl (also die gerade errechnete Wurzel aus 13) um die Wurzel 5 größer sein als im Ausgangsdreieck:
Der Betrag unseres Multiplikationsergebnisses (hier weiterhin als gestrichelte rote Linie dargestellt) ist also gerade der Betrag der ersten Zahl (also die Wurzel aus 5) mal dem Betrag aus der zweiten Zahl (also die Wurzel aus 13). Und genau darauf wollte ich hinaus: der Betrag eines Produkts zweier komplexer Zahlen ist das Produkt der Beträge dieser Zahlen.
Und wenn wir uns mal den Winkel des Multiplikationsergebnisses anschauen, erkennen wir folgendes:
Indem wir Kopien unserer Dreiecke aufeinander gelegt haben, haben wir also den Polarwinkel des Dreiecks zur zweiten Zahl einfach auf denjenigen des Dreiecks zur ersten Zahl gelegt:
Damit ist aber der Polarwinkel unseres Multiplikationsergebnisses gerade so groß, wie die Summe der Polarwinkel unserer beiden Ausgangszahlen.
Zusammengefasst heißt das also, dass man zwei komplexe Zahlen multipliziert, indem man schlichtweg ihre Beträge multipliziert und ihre Polarwinkel addiert. Die ganze umständliche Sache mit dem Ausmultiplizieren und so, kann also dahingestellt bleiben, wenn man in Polarkoordinaten denkt.
Es gibt natürlich auch rein algebraische Beweise für diese Erkenntnis, aber ich hatte mich ja mal zu Anfang dieser Beitragsserie auf Anschaulichkeit verpflichtet, so dass ich den wirklich Interessierten unter Euch die hier vorgestellte geometrische Erklärung nicht vorenthalten wollte. Kommentare dazu sind – wie immer – jederzeit sehr willkommen.
Alles Liebe
Daniel
