Viel­fach kom­plex — die Mecha­nik der kom­ple­xen Mul­ti­pli­ka­ti­on

Hal­lo Ihr Lie­ben,

im Rah­men mei­ner Bei­trags­se­rie zur Man­del­brot­men­ge sind wir im fünf­ten Teil der Serie auf die Kom­ple­xen Zah­len gesto­ßen. In die­sem Zusam­men­hang haben wir die soge­nann­ten “Polar­ko­or­di­na­ten” ken­nen­ge­lernt und  ich habe dar­auf hin­ge­wie­sen, dass die Mul­ti­pli­ka­ti­on zwei­er kom­ple­xer Zah­len – und mit ihr die Bil­dung von Wur­zeln kom­ple­xer Zah­len – viel ein­fa­cher zu begrei­fen ist, wenn man sich anschaut, was dabei mit ihren Polar­ko­or­di­na­ten geschieht. Genau dies wol­len wir im Fol­gen­den tun. Betrach­ten wir dazu fol­gen­des Bei­spiel:

Nach dem, was wir in mei­nem eigens dazu ver­fass­ten Bei­trag gelernt haben (oder zumin­dest hät­ten ler­nen sol­len, wenn ich mei­ne Sache gut gemacht habe), beginnt die­se Mul­ti­pli­ka­ti­on mit dem Aus­mul­ti­pli­zie­ren des obi­gen Aus­drucks nach der “FOIL”-Regeil (First, Outer, Inner, Last). Dabei ent­steht dann fol­gen­der Aus­druck:

Gemäß dem, was wir in mei­nem Bei­trag zu den Kom­ple­xen Zah­len über die kom­ple­xe Ebe­ne erfah­ren haben, wür­de das aber doch hei­ßen, dass jedes reel­le Ele­ment die­ser Sum­me (also alle Sum­man­den ohne i) einer Bewe­gung ent­lang der reel­len Ach­se und jedes ima­gi­nä­re Ele­ment (also alle Sum­man­den mit i) einer Bewe­gung ent­lang der ima­gi­nä­ren Ach­se ent­spricht. Zur bes­se­ren Über­sicht haben ich die vier Tei­le der Sum­me farb­lich hin­ter­legt, so dass sie in fol­gen­der Dar­stel­lung hof­fent­lich ein­fach wie­der­zu­er­ken­nen sind:

Fan­gen wir unten links am Ursprung an und gehen 2×3 – also 6 – Ein­hei­ten nach rechts. Das ent­spricht dem ers­ten Seg­ment aus unse­rer Sum­me. Aus didak­ti­schen Grün­den gehen wir jetzt erst ein­mal um 1×3 – also 3 – Ein­hei­ten nach oben. Das ent­spricht dem drit­ten Seg­ment aus unse­rer Sum­me. Dann gehen wir 2×2 – also 4 – Ein­hei­ten nach oben. Das ent­spricht dem zwei­ten Seg­ment aus unse­rer Sum­me. Zu guter letzt gehen wir 1×2×i×i – also 1×2×(-1) und damit ‑2 – Ein­hei­ten nach rechts. Das heißt soviel wie 2 Ein­hei­ten nach links, was dem vier­ten Seg­ment aus der Sum­me ent­spricht. Der Punkt, zu dem wir auf die­se Wei­se gelangt sind, ist jeden­falls das Ergeb­nis der Mul­ti­pli­ka­ti­on von 2+1×i und 3+2×i. Der rot gestri­chel­te Pfeil zeigt auch schon mal den Betrag die­ser Zahl an (Ihr erin­nert Euch noch: der Betrag einer kom­ple­xen Zahl ist der Abstand zwi­schen dem Ursprung und dem­je­ni­gen Punkt, des­sen Koor­di­na­ten sich aus dem reel­len und ima­gi­nä­ren Anteil der Zahl bestim­men).

Schön – und was sagt uns das jetzt?

Naja, schau­en wir uns dazu noch­mals unse­re ers­te Zahl 2+1×i als Drei­eck im Sin­ne der im Bei­trag zu den Kom­ple­xen Zah­len erläu­ter­ten Polar­ko­or­di­na­ten an:

Wir gelan­gen also zu unse­rer Zahl, indem wir 2 nach rechts (also in reel­ler Rich­tung) und und 1 nach oben (also in ima­gi­nä­rer Rich­tung) gehen. Wenn wir uns jetzt mal die ers­ten bei­den Pfei­le in der obi­gen Dar­stel­lung der Mul­ti­pli­ka­ti­on anschau­en, stel­len wir fest, dass der ers­te Pfeil gera­de drei­mal so lang ist wie die reel­le Sei­te unse­rer ers­ten Zahl (näm­lich  2×3=6) und der zwei­te Pfeil gera­de drei­mal so lang ist wie die ima­gi­nä­re Sei­te unse­rer ers­ten Zahl (näm­lich 1×3=3). Ins­ge­samt haben wir damit ein Drei­eck, das unse­rer ers­ten Zahl ent­spricht, aber drei­mal so groß ist:Danach gehen wir zwei­mal unse­re reel­le Sei­te nach oben (drit­ter Pfeil – also 2×2=4) und zwei­mal unse­re ima­gi­nä­re Sei­te nach links (vier­ter Pfeil also -1×2=-2). Damit haben wir ein wei­te­res Drei­eck, dass unse­rer ers­ten Zahl ent­spricht, aber zwei­mal so groß ist und um 90° gegen den Uhr­zei­ger­sinn ver­dreht ist:Ins­ge­samt haben wir also jetzt zwei Kopi­en unse­res Drei­ecks zur ers­ten Zahl. Die ers­te davon ist drei­mal so groß wie das Ursprungs­drei­eck, die zwei­te ist zwei­mal so groß wie das Ursprungs­drei­eck und liegt um 90 Grad gegen den Uhr­zei­ger­sinn ver­dreht über der ers­ten Kopie.

Betrach­ten wir jetzt noch­mals kurz die Sei­ten­län­gen in unse­rem Aus­gangs­drei­eck für die ers­te Zahl 2+1×i. Nach den obi­gen Aus­füh­run­gen dar­über, wie man die Län­ge des Betrags einer kom­ple­xen Zahl mit Hil­fe des Pytha­go­räi­schen Lehr­sat­zes aus dem reel­len und dem ima­gi­nä­ren Teil errech­net, ergibt sich dazu fol­gen­des:

Der Betrag unse­rer Zahl 2+1×i ergibt sich also aus der Wur­zel aus 22+12 – also der Wur­zel aus 4+1 bzw. 5. Dann muss aber der ers­te blaue Pfeil in der obi­gen Dar­stel­lung auch genau drei­mal so lang sein wie die Wur­zel aus 5 und der zwei­te blaue Pfeil zwei­mal so lang sein wie die Wur­zel aus 5, denn es han­delt sich ja um eine drei- bzw. zwei­fach ver­grö­ßer­te Kopie unse­res Aus­gangs­drei­ecks:Das gelb­brau­ne Drei­eck ist damit eine um die Wur­zel aus 5 ver­grö­ßer­te Ver­si­on des­je­ni­gen Drei­ecks mit der reel­len Län­ge 3 und der ima­gi­nä­ren Län­ge 2:

Oops – aber genau das ist doch das Drei­eck zu unse­rer zwei­ten Zahl 3+2×i, oder? Bin­go! Das ist natür­lich kein Zufall, son­dern genau das, was ich zei­gen woll­te. Wenn wir uns jetzt näm­lich noch den Betrag die­ser Zahl nach Pytha­go­ras her­an­zie­hen, geht das wie folgt:

Der Betrag unse­rer zwei­ten Zahl 3+2×i ergibt sich also aus der Wur­zel aus 32+22 – also der Wur­zel aus 9+4 bzw. 13.

Eben haben wir aber erkannt, dass wir bei unse­rer Mul­ti­pli­ka­ti­ons­dar­stel­lung eine Kopie des Drei­ecks zu unse­rer zwei­ten Zahl erhal­ten haben, die um die Wur­zel aus 5 grö­ßer ist, als das Aus­gangs­drei­eck. Dann aller­dings muss auch der Betrag die­ser Zahl (also die gera­de errech­ne­te Wur­zel aus 13) um die Wur­zel 5 grö­ßer sein als im Aus­gangs­drei­eck:

Der Betrag unse­res Mul­ti­pli­ka­ti­ons­er­geb­nis­ses (hier wei­ter­hin als gestri­chel­te rote Linie dar­ge­stellt) ist also gera­de der Betrag der ers­ten Zahl (also die Wur­zel aus 5) mal dem Betrag aus der zwei­ten Zahl (also die Wur­zel aus 13). Und genau dar­auf woll­te ich hin­aus: der Betrag eines Pro­dukts zwei­er kom­ple­xer Zah­len ist das Pro­dukt der Beträ­ge die­ser Zah­len.

Und wenn wir uns mal den Win­kel des Mul­ti­pli­ka­ti­ons­er­geb­nis­ses anschau­en, erken­nen wir fol­gen­des:Indem wir Kopi­en unse­rer Drei­ecke auf­ein­an­der gelegt haben, haben wir also den Polar­win­kel des Drei­ecks zur zwei­ten Zahl ein­fach auf den­je­ni­gen des Drei­ecks zur ers­ten Zahl gelegt:

Damit ist aber der Polar­win­kel unse­res Mul­ti­pli­ka­ti­ons­er­geb­nis­ses gera­de so groß, wie die Sum­me der Polar­win­kel unse­rer bei­den Aus­gangs­zah­len.

Zusam­men­ge­fasst heißt das also, dass man zwei kom­ple­xe Zah­len mul­ti­pli­ziert, indem man schlicht­weg ihre Beträ­ge mul­ti­pli­ziert und ihre Polar­win­kel addiert. Die gan­ze umständ­li­che Sache mit dem Aus­mul­ti­pli­zie­ren und so, kann also dahin­ge­stellt blei­ben, wenn man in Polar­ko­or­di­na­ten denkt.

Es gibt natür­lich auch rein alge­brai­sche Bewei­se für die­se Erkennt­nis, aber ich hat­te mich ja mal zu Anfang die­ser Bei­trags­se­rie auf Anschau­lich­keit ver­pflich­tet, so dass ich den wirk­lich Inter­es­sier­ten unter Euch die hier vor­ge­stell­te geo­me­tri­sche Erklä­rung nicht vor­ent­hal­ten woll­te. Kom­men­ta­re dazu sind – wie immer – jeder­zeit sehr will­kom­men.

Alles Lie­be

Dani­el

 

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