Vom Zäh­len zur Man­del­brot­men­ge – Teil 1: Natür­li­che Zah­len

Hal­lo Ihr Lie­ben,

vor einer gan­zen Wei­le bin ich von mei­nem Bru­der auf ein You­Tube-Video auf­merk­sam gemacht wor­den, wel­ches das Vor­drin­gen in eine bis­lang uner­reich­te Ver­grö­ße­rungs­stu­fe in der Visua­li­sie­rung der soge­nann­ten “Man­del­brot­men­ge” zeigt:

Mal abge­se­hen von der bewe­gen­den Begleit­mu­sik in Gestalt des ers­ten Sat­zes aus Beet­ho­vens Kla­vier­so­na­te Nr. 14 – der soge­nann­ten “Mond­schein­so­na­te” – stellt das für den unbe­darf­ten Betrach­ter ver­mut­lich wenig mehr dar, als ein zwei­fel­los hoch­gra­dig ästhe­ti­sches Kalei­do­skop aus wun­der­sam inein­an­der­ge­la­ger­ten Schnör­keln, For­men und Mus­tern, die teils an Unter­was­ser­le­be­we­sen, teils an Küs­ten­li­ni­en und teils an Ein­zell­er­mi­kro­sko­pie erin­nern.

Die Man­del­brot­men­ge für Nerds

Das eigent­lich Fas­zi­nie­ren­de an der Man­del­brot­men­ge ist jedoch der Umstand, dass sie trotz ihrer unend­lich tief ver­schach­tel­ten und mit immer neu­en Form­va­ria­tio­nen auf­war­ten­den Struk­tur, wie sie im obi­gen Video sehr anschau­lich zu sehen ist, auf einer außer­or­dent­lich simp­len Defi­ni­ti­on beruht:

\mathbb{M} = \{c\in \mathbb{C} : \exists s\in\mathbb{R}, \forall n\in\mathbb{N}, |P^n_c(0)|\le s\}

\mbox{wobei }P_c :  \mathbb{C}\longmapsto\mathbb{C}\mbox{ definiert ist als }P_c(x) = x^2+c\mbox{ und }P_c^0(0) = P_c(0)\mbox{ bzw. }P^{n+1}_c(0) = P_c(P^n_c(0))\mbox{ f\"ur alle } n\in\mathbb{N}\mbox{ sei.}

“Och nee – jetzt lässt er doch echt hem­mungs­los raus­hän­gen, dass er mal Infor­ma­tik stu­diert hat und will uns hier damit beein­dru­cken, dass er mit kryp­ti­schen mathe­ma­ti­schen Defi­ni­tio­nen um sich schmeißt, von denen er auch noch selbst­ge­fäl­lig behaup­tet, sie wür­den etwas ‘außer­or­dent­lich Simp­les’ beschrei­ben.”

Jaja, ich weiß: die Mathe­ma­ti­ka­ver­sen  unter Euch habe ich jetzt also womög­lich gleich vor den Kopf gesto­ßen. Aber kei­ne Sor­ge: es geht mir hier gera­de nicht dar­um, mei­ne durch das Video wie­der­erweck­te Fas­zi­na­ti­on für die Man­del­brot­men­ge und all das, was dahin­ter­steht, mit die­sem Bei­trag in exhi­bi­tio­nis­ti­scher Manier als Aus­druck einer etwai­gen Affi­ni­tät zu bizar­rer Geek-Ero­tik zu prä­sen­tie­ren. Im Gegen­teil: ich habe mir vor­ge­nom­men, die­se klei­ne Bei­trags­se­rie zu ver­fas­sen, um mei­ne Fas­zi­na­ti­on mit Euch zu tei­len – und zwar mit Euch allen, also ins­be­son­de­re mit den Mathe­ma­ti­ka­ver­sen unter Euch, bei denen die oben prä­sen­tier­te For­mel­spra­che ver­mut­lich jetzt schon übel­keits­träch­ti­ge Asso­zia­tio­nen an längst ver­drängt geglaub­te Trau­ma­ta aus dem schu­li­schen Mathe­ma­tik­un­ter­richt her­vor­ge­ru­fen hat.

Anschau­ung statt For­ma­lis­mus

Um die­se Fas­zi­na­ti­on über die rein visu­el­le Ästhe­tik hin­aus nach­voll­zie­hen zu kön­nen, muss man aller­dings schon ein wenig über die Hin­ter­grün­de der Man­del­brot­men­ge wis­sen. Die­se Hin­ter­grün­de wie­der­um erschlie­ßen sich dem nicht-mathe­ma­ti­schen Men­schen wohl kaum in Form lang­at­mi­ger aka­de­mi­scher Her­lei­tun­gen anhand von For­meln, Defi­ni­tio­nen, Theo­re­men und Bewei­sen – also gera­de so, wie es all­zu ger­ne in Lehr­bü­chern und wis­sen­schaft­li­chen Abhand­lun­gen nach guter deut­scher Tra­di­ti­on gemacht wird. Die oben vor­ge­stell­te for­ma­le Defi­ni­ti­on der Man­del­brot­men­ge mit Hil­fe mathe­ma­ti­scher Nota­ti­on und For­mel­spra­che dürf­te als abschre­cken­des Bei­spiel für die Meis­ten von Euch genü­gend Über­zeu­gungs­kraft zur Bestä­ti­gung des eben Gesag­ten ent­fal­tet haben.

Statt­des­sen wür­de ich im Fol­gen­den ger­ne den Ver­such unter­neh­men, die Man­del­brot­men­ge ganz im Sin­ne des­sen zu erklä­ren, was sie mei­ner Ansicht nach ist: eine bestechend schö­ne Ver­an­schau­li­chung für die Ästhe­tik, die der Mathe­ma­tik als wohl reins­ter Form in sich abge­schlos­se­nen Den­kens inne­wohnt. Das Mot­to der fol­gen­den Aus­füh­run­gen muss dem­zu­fol­ge “Ver­an­schau­li­chung” lau­ten. Ich wer­de daher – hoch und hei­lig ver­spro­chen – red­lich bestrebt sein, so wenig wie mög­lich auf die übli­chen Aus­drucks­mit­tel der Mathe­ma­tik zu set­zen und statt­des­sen die Anschau­ung zu bemü­hen, wo immer mir etwas ein­fällt, was ich dafür als geeig­net erach­te.

Natür­li­che Zah­len

Unser Erkun­dungs­pfad zur Man­del­brot­men­ge beginnt – der Unter­ti­tel die­ses Bei­trags sug­ge­riert es bereits – beim all­täg­li­chen Zäh­len.

Schon in frü­hes­tem Kin­des­al­ter reift bei uns (nor­ma­ler­wei­se) die Erkennt­nis, dass die Din­ge um uns her­um sich deut­lich von­ein­an­der abgren­zen las­sen, also jeweils eige­ne, von ande­ren Din­gen klar unter­scheid­ba­re Enti­tä­ten bil­den. “Mut­ter”, “Vater”, “Schrank”, “Bild”, “Fens­ter”, “Tisch”, “Ted­dy­bär” – was auch immer: es sind dies für sich klar abge­grenz­te Din­ge, die anders sind als all die ande­ren für sich abgrenz­ba­ren Din­ge. Gleich­zei­tig reift aber in die­sem Zusam­men­hang schnell die Erkennt­nis, dass man­che die­ser unter­scheid­ba­ren Din­ge in irgend­ei­ner Form gleich­ar­tig und inso­fern zusam­men­ge­hö­rig sind. Das bringt uns dazu, die Din­ge um uns her­um in ver­schie­de­ne Grup­pen zu unter­tei­len, die aus lau­ter der­art als zusam­men­ge­hö­rig wahr­ge­nom­me­nen Objek­ten bestehen – also etwa “Kuschel­tie­re”, “Men­schen” oder “Ein­rich­tungs­ge­gen­stän­de”.

Irgend­wann ein­mal däm­mert uns dann wohl auch, dass die­se Grup­pen jeweils aus unter­schied­lich vie­len Objek­ten bestehen kön­nen. Man­che Grup­pen haben weni­ger Din­ge als ande­re. Wir ent­wi­ckeln damit also einen Begriff für das, was wir gemein­hin als “Anzahl” bezeich­nen. Schnell begin­nen wir dann auch bestimm­ten, immer wie­der­keh­ren­den Anzah­len die­ser Art eige­ne Bezeich­nun­gen zuzu­wei­sen – also etwa “Eins”, “Zwei” und “Drei”.

Und schon ist das ent­stan­den, was der Mathe­ma­ti­ker die “Men­ge der Natür­li­chen Zah­len” nennt und ger­ne mit dem Sym­bol  “\mathbb{N}” bezeich­net. Die natür­li­chen Zah­len begin­nen dem­nach mit der kleinst­mög­li­chen Anzahl an Grup­pen­mit­glie­dern – also der Eins – und set­zen sich fort, indem man gedank­lich immer ein wei­te­res Grup­pen­mit­glied hin­zu­fügt. Die­sen Pro­zess kann man – wenn man genug Zeit hat – offen­sicht­lich belie­big lan­ge fort­füh­ren, womit auch klar ist, dass es unend­lich vie­le natür­li­che Zah­len geben muss.

Was haben wir dar­aus gelernt? Zunächst ein­mal fol­gen­des:

  1. Die natür­li­chen Zah­len haben eine kleins­te Zahl, näm­lich die “Eins”
  2. Jede natür­li­che Zahl hat einen direk­ten Nach­fol­ger, der dadurch ensteht, dass man die betrach­te­te Zahl um eins ver­grö­ßert.
  3. Auf die­se Wei­se ent­steht eine ein­deu­tig fest­ge­leg­te Rei­hen­fol­ge oder – wie die Mathe­ma­ti­ker sagen – eine Ord­nung unter den natür­li­chen Zah­len.
  4. Es gibt unend­lich vie­le natür­li­che Zah­len.

Rech­nen

Dass man immer eine nächs­te Zahl erhält, wenn man zu einer gege­be­nen Zahl eins hin­zu­zieht, ist gleich­zei­tig die ein­fachs­te Art des­sen, was wir schon in der Grund­schu­le als “Addi­ti­on” ken­nen­ge­lernt haben: man gelangt zu einer wei­te­ren Zahl, indem man zu einer gege­be­nen Zahl etwas hin­zu­fügt. Das muss sich aller­dings nicht auf eine ein­zel­ne Ein­heit beschrän­ken. Genau­so gut kann man einer gege­be­nen Zahl auch gleich meh­re­re Ein­hei­ten hin­zu­fü­gen, was im Ergeb­nis nichts ande­res bedeu­tet, als dass man den Vor­gang “eins hin­zu­fü­gen” mehr­fach hin­ter­ein­an­der aus­führt.

Aber gera­de weil sich jede Hin­zu­fü­gung meh­re­rer Ein­hei­ten als nach­ein­an­der aus­ge­führ­te Hin­zu­fü­gung einer ein­zel­nen Ein­heit ver­ste­hen lässt, ist auch offen­sicht­lich, dass die Zahl, die nach der Hin­zu­fü­gung belie­big vie­ler Ein­hei­ten ent­steht, selbst wie­der ein Ele­ment der natür­li­chen Zah­len ist: man hät­te ja genau­so gut bei der ursprüng­li­chen Zahl anfan­gen kön­nen und ihr oft genug nach­ein­an­der eine ein­zel­ne Ein­heit hin­zu­fü­gen kön­nen, bis man auf das­sel­be Ergeb­nis gekom­men wäre. Und die­se hin­ter­ein­an­der aus­ge­führ­ten Ein­zel­hin­zu­fü­gungs­vor­gän­ge brin­gen uns ja für sich genom­men, wie oben fest­ge­stellt, immer zur jeweils nächs­ten natür­li­chen Zahl, so dass auch das End­ergeb­nis die­ser fort­ge­setz­ten Ein­zel­hin­zu­fü­gun­gen eine natür­li­che Zahl sein muss. Mit ande­ren Wor­ten: ob man mehr­fach hin­ter­ein­an­der jeweils eine Ein­heit oder all die­se Ein­hei­ten auf ein­mal hin­zu­fügt, ist das­sel­be. Bei ers­te­rem wis­sen wir, dass wir am Ende zu einer wei­te­ren natür­li­chen Zahl gelan­gen, also wis­sen wir es auch für letz­te­res.

Kurz: das Ergeb­nis der Addi­ti­on zwei­er natür­li­cher Zah­len ist immer auch selbst eine natür­li­che Zahl.

“Ey — wie­so erzählt er uns das alles? Kön­nen wir nicht zäh­len oder was?”

Ja, schon klar: das klingt jetzt irgend­wie banal. Aber das ist es nicht wirk­lich, wie Ihr gleich sehen wer­det. Denn es gibt ja neben der Addi­ti­on – wie wir alle wis­sen – ihren intui­ti­ven Ant­ago­nis­ten: die Sub­trak­ti­on. Anstatt eine oder meh­re­re Ein­hei­ten hin­zu­zu­fü­gen, sorgt die Sub­trak­ti­on dafür, dass eine bestimm­te Anzahl an Ein­hei­ten ent­fernt wird. Auch das kann man sich als mehr­fach hin­ter­ein­an­der aus­ge­führ­tes Ent­fer­nen jeweils einer ein­zel­nen Ein­heit vor­stel­len.

So weit, so gut. Aber wenn ich oft genug hin­ter­ein­an­der sol­che Ein­hei­ten ent­fer­ne, kann es mir pas­sie­ren, dass irgend­wann mal kei­ne mehr übrig ist. Und noch schlim­mer: wenn ich mehr Ein­hei­ten ent­fer­nen will, als mei­ne gege­be­ne Zahl beinhal­tet, dann lan­de ich nicht nur bei “nichts mehr übrig” son­dern auf abson­der­li­che Wei­se bei “weni­ger als nichts mehr übrig”.

Anders gesagt: es kann pas­sie­ren, dass das Ergeb­nis einer Sub­trak­ti­on nicht mehr Ele­ment der natür­li­chen Zah­len ist. Die simp­le Rech­nung “2 minus 3” ist so ein Bei­spiel: es gibt kei­ne natür­li­che Zahl, der man “3” hin­zu­fü­gen könn­te, um “2” zu erhal­ten. Es ist über­haupt irgend­wie absurd zu ver­lan­gen, dass man weni­ger erhal­ten soll, als man gera­de hin­zu­ge­fügt hat.

Die­se Erkennt­nis ist nach­weis­lich über 2.000 Jah­re alt und hat schon im dama­li­gen Chi­na zu der Über­le­gung geführt, dass man etwas tun muss, wenn man will, dass Rech­nun­gen der Form “2–3” ein defi­nier­tes Ergeb­nis inner­halb unse­rer bekann­ten Zah­len­welt haben sol­len. Was das ist und war­um man dafür eine gewis­se Vor­stel­lungs­kraft benö­tigt, wer­den wir im nächs­ten Teil die­ser Bei­trags­se­rie sehen.

Alles Lie­be

Dani­el

6 Kommentare

Kommentar verfassen

  • Vie­len Dank. Gefällt mir ganz her­vor­ra­gend. Mathe­ma­tik ist eben vor allem erst ein­mal schön, das ist auch die Fas­zi­na­ti­on der Man­del­brot-Men­ge.

    • Dan­ke für die ermu­ti­gen­de Rück­mel­dung. Ich hof­fe, die­se Hal­tung wird von dem, was da dem­nächst noch kommt, nicht getrübt… Ich gebe mir jeden­falls Mühe. Ver­spro­chen!

    • Dan­ke für die Blu­men. Ich wer­de mir red­li­che Mühe geben, die offen­bar geweck­ten Erwar­tun­gen an die wei­te­ren Fol­gen die­ser Bei­trags­se­rie nicht zu ent­täu­schen.

  • Lie­ber Dani­el,
    Das Zah­len­spiel hat mich sofort an eine Geschich­te erin­nert, und ich konn­te es nicht wider­ste­hen, die­se noch­mal zu erzäh­len:

    WIE BERECHNET MAN EINE RENDITE

    Der schlech­tes­te Schü­ler, der Jun­ge Moritz Kohn, besteht mit Ach und Krach nach einer Nach­prü­fung in Mathe­ma­tik das Abitur. Im Leben hat er mehr Glück. Wird wohl­ha­bend, gera­de­zu stein­reich, und fährt einen Rolls Roy­ce.

    An einer Kreu­zung bei Rot hält er an und ent­deckt neben sich sei­nen alten Mathe­ma­tik Pro­fes­sor. Natür­lich als Fuß­gän­ger, in einem alten, schon etwas schä­bi­gen Man­tel mit einem ver­deptsch­ten Hut. Der alte Pro­fes­sor erkennt sei­nen dama­li­gen Schü­ler und ruft erstaunt aus:

    „Kohn! Sie fah­ren einen Rolls Roy­ce, Sie waren doch eine Nie­te in Mathe­ma­tik, wie kom­men Sie zu so einem Wohl­stand?“

    „Schau­en Sie, Herr Pro­fes­sor“, ant­wor­tet Kohn, „ich kau­fe alte Stahl­knüp­pel für einen Euro, ver­kau­fe sie für vier Euro, und von die drei PROZENT leb ich“

    • Da muss ich natür­lich gleich mit dem ande­ren Mathe­witz-Klas­si­ker kon­tern:

      Sagt der Mathe­leh­rer zu sei­nen Schü­lern bei der Rück­ga­be der jüngs­ten Mathe­ar­beit: “Also Leu­te, an die­ser Arbeit kann man mal wie­der sehen, dass sieb­zig Pro­zent von euch kei­ne Ahnung von Mathe haben.” Dar­auf ant­wor­tet Fritz­chen: “Aber, Herr Leh­rer, so vie­le sind wir doch gar nicht…”

Letz­te Bei­trä­ge

Kate­go­ri­en

%d Bloggern gefällt das: