Vom Zählen zur Mandelbrotmenge – Teil 4: Reelle Zahlen

Hallo Ihr Lieben,

auf unserem Erkundungspfad zur Mandelbrotmenge haben wir uns im letzten Teil die Menge der Rationalen Zahlen erschlossen, für die insbesondere gilt, dass die Ergebnisse der Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division stets selbst rationale Zahlen sind und damit innerhalb unserer bekannten Zahlenwelt bleiben. Das Ganze gilt sogar für das Potenzieren mit ganzzahligen Exponenten, da dieses ja eigentlich nichts anderes ist, als die fortgesetzte Hintereinanderausführung von Multiplikationen oder Divisionen. Beim Wurzelziehen als Umkehroperation des Potenzierens hingegen konnten wir zeigen, dass wir im Allgemeinen Ergebnisse erhalten, die nicht Teil der Rationalen Zahlen sind und damit mal wieder außerhalb unserer gerade erst mühsam erweiterten bekannten Zahlenwelt geraten. Wir haben ferner gelernt, dass diejenigen Ergebnisse des Wurzelziehens, die selbst keine rationale Zahlen sind, folgerichtig als „irrationale Zahlen“ bezeichnet werden.

Was also liegt näher, als einfach die Rationalen Zahlen und die Irrationalen Zahlen in einen Topf zu schmeißen, um eine erneut erweiterte Zahlenwelt zu erhalten, die man dann auch beim Wurzelziehen nicht mehr verlässt? Genauso haben wir es ja schließlich auch im zweiten Teil dieser Beitragsserie mit den Natürlichen Zahlen und den negativen Zahlen gemacht und uns damit die Ganzen Zahlen zusammengemixt. In der Tat haben die Mathematiker im Wesentlichen schon im Frühmittelalter eben gerade diese Erkenntnis gehabt und die Rationalen mit den Irrationalen Zahlen folgerichtig einfach zusammengelegt. Das Ergebnis dieser Vereinigung bezeichnet man als die Menge der „Reellen Zahlen“ (abgekürzt mit dem mathematischen Symbol „\mathbb{R}“ . Diese Bezeichnung stammt übrigens von niemand geringerem als René Descartes. Sie klingt im Moment etwas unmotiviert, wird aber spätestens im nächsten Teil dieser Beitragsserie verständlich werden.

War’s das also schon für dieses Mal? Keine langatmigen Erklärungen mit bunten Bildchen und so? Ist das wirklich so einfach?

Antwort: nicht, wenn man sich mal erlaubt zu fragen, wie irrationale bzw. reelle Zahlen denn konkret aussehen und wie man mit ihnen rechnet. Das schauen wir uns dann doch lieber noch ein bisschen genauer an.

Ohne Punkt aber mit Komma

Da wir vom letzten Mal noch wissen, dass man die Irrationalen Zahlen ja gerade nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben kann, fällt diese Art der Zahlendarstellung also für die Irrationalen Zahlen schon mal weg und disqualifiziert sich damit auch gleich als allgemeine Darstellung für reelle Zahlen, da diese ja – wie oben dargelegt – insbesondere die Irrationalen Zahlen enthalten. Auf den vermutlich im Jahre 1548 in Brügge geborenen Mathematiker, Physiker und Ingenieur Simon Stevin geht stattdessen die sogenannte „Dezimaldarstellung“ zurück, mit der man auf jeden Fall schon mal alle rationalen Zahlen und – wie wir weiter unten sehen werden – im Grunde auch alle irrationalen Zahlen aufschreiben kann (wenn man sich ein bisschen Zeit dafür nimmt). Wir alle kennen die Dezimaldarstellung aus dem Schulunterricht schlicht als „Kommazahlen“, und sie setzen sich aus einer ganzen Zahl, einem Komma und einer Folge von Ziffern hinterm Komma zusammen:

Jede der Ziffern links vom Komma entspricht dabei derjenigen Zahl, die entsteht, wenn man die Ziffer je nach Entfernung vom Komma mit 1, 10, 100, 1000 usw. multipliziert. Soll heißen: die Ziffer direkt links am Komma (in unserem Beispiel die „6“) wird mit 1 multipliziert, diejenige links daneben (in unserem Beispiel die „7“) mit 10, die nächste links daneben (hier die „5“) mit 100 und so weiter. Insgesamt stehen die drei Ziffern links vom Komma also für folgende Rechenaufgabe:

Rechts vom Komma passiert ähnliches – außer dass man mit zunehmender Entfernung vom Komma nicht mit 1, 10, 100, 1000 usw. multipliziert, sondern stattdessen mit 1/10, 1/100, 1/1000 usw. In unserem obigen Beispiel steht die „1“ (an erster Stelle rechts vom Komma) demnach für 1×1/10, die „3“ (an zweiter Stelle rechts vom Komma) für 3×1/100 und die „4“ (an dritter Stelle rechts vom Komma) für 4×1/1000. Insgesamt entspricht das obige Beispiel also folgender Rechenaufgabe:

oder – etwas einfacher ausgedrückt:

Krass oder? Wir schreiben gefühlt wohl fast jeden Tag irgendwelche Kommazahlen auf. Auf alle Fälle lesen wir sie immer dann, wenn wir es mit Geldsummen zu tun haben – also etwa im Supermarkt, beim Online-Shoppen oder auf dem Kontoauszug. Aber wann machen wir uns eigentlich noch Gedanken darüber, was diese Art der Zahlendarstellungen wirklich bedeutet und wie sie wirklich funktioniert? Im Grunde ist sie nämlich gar nicht so selbsterklärend, wie wir sie im alltäglichen Umgang empfinden.

Und spätestens, wenn man mal rekapitulieren soll, wie man von einer rationalen Zahl in Bruchdarstellung – also in der Form „a/b“ – zu ihrer zugehörigen Dezimaldarstellung im Sinne des eben Erläuterten gelangt, ist es um die scheinbare Selbstverständlichkeit der Kommazahlen gar nicht mehr so gut bestellt.

Also – wie macht man das jetzt mit dem Umwandeln von Bruch- in Dezimaldarstellung?

Nun, das erschließt sich wohl am ehesten, wenn man sich wieder einmal daran erinnert, dass ein Bruch der Form „a/b“ für die Rechenaufgabe „a÷b“ – also „a geteilt durch b„– steht. Wir alle sollten noch aus der Grundschule wissen, wie man schriftlich dividiert („Ja klar. Träum ruhig weiter“). Wer das vergessen hat, dem habe ich das in einem eigenen kleinen Beitrag nochmals zusammengestellt. Dort wird auch erläutert, dass bei der schriftlichen Division hinter dem Komma der Dezimalzahl im Ergebnis immer nur einer der folgenden drei Fälle entstehen kann:

  1. Nach einer bestimmten Anzahl sich nicht wiederholender Nachkommastellen folgen nur noch Nullen. Die kann man alle weglassen und erhält somit eine endliche Zahl von Nachkommastellen. So eine Dezimalzahl nennt man dementsprechend „endliche Dezimalzahl“. Beispiel:

\frac{9}{8} = 1,125

  1. Dieselbe Folge von Ziffern wiederholt sich immer wieder in den Nachkommastellen. So etwas nennt man „reinperiodische Zahl“ und schreibt die sich wiederholende (=„periodische“) Ziffernfolge nur einmal hin, markiert sie aber dafür mit einem darüberliegenden Strich. Beispiel:

\frac{20}{13} = 1,538461 538461 538461 538461 538461\ldots = 1,\overline{538461}

  1. Die beiden obigen Fälle treten gemischt auf: eine endliche Zahl wird von einer Periode gefolgt. Folgerichtig spricht man in diesem Fall von einer „gemischt periodischen“ Dezimalzahl. Beispiel:

\frac{1301}{14} = 92,92 857142 857142 857142\ldots = 92,92\overline{857142}

Irrational ohne Ende

Im Unterschied zu den oben aufgeführten möglichen Arten der Dezimaldarstellung für rationale Zahlen, ist die Dezimaldarstellung einer irrationalen Zahl weder endlich noch periodisch oder gemischt periodisch. Soll heißen, es entstehen unendlich viele Ziffern rechts vom Komma, ohne dass es irgendwann eine Ziffernfolge gibt, die sich periodisch wiederholen würde.

Der Grund dafür liegt in der Natur der irrationalen Zahlen: sie stehen ja für Zahlen, die per definitionem eben gerade nicht als Bruch darstellbar sind. Genau das wäre aber der Fall, wenn ihre Dezimaldarstellung in eine der drei oben erwähnten Kategorien fiele, denn man kann zu jeder Dezimalzahl, die in eine der drei oben genannten Kategorien fällt, immer einen Bruch mit Zähler und Nenner berechnen, dessen Wert gerade dieser Zahl entspricht. Wie das geht, steht ebenfalls in meinem oben erwähntem Beitrag zum Hin- und Herrechnen zwischen Dezimalzahlen und Brüchen.

Wenn wir etwa an unsere Wurzel aus 2 denken, für die wir im letzten Teil dargelegt hatten, warum sie nicht rational sein kann, dann würde man wohl am ehesten versuchen, ihren Wert als Dezimalzahl durch fortgesetztes Ausprobieren zu bestimmen. Wir wissen ja schon mal, dass die 1 als Wurzel aus 2 zu klein ist, denn 1×1 ist 1 und damit kleiner als 2. Die 2 selbst ist aber offensichtlich als Wurzel aus 2 zu groß denn 2×2 ist 4 und nicht etwa 2. Damit muss die Wurzel aus 2 also auf jeden Fall mal zwischen 1 und 2 liegen.

Mit etwas Herumprobieren kriegen wir raus, dass 1,4×1,4 mit 1,96 der 2 schon ziemlich nahe kommt, während 1,5×1,5 mit 2,25 wieder zu groß ist. Also liegt die Wurzel aus 2 zwischen 1,4 und 1,5. Das kann man jetzt Stelle für Stelle ausprobieren. Für die ersten acht Stellen der Wurzel aus 2 sieht das dann so aus:

(kleiner Hinweis für das Lesen dieses Beitrags auf Mobilgeräten: wenn Ihr auf die Illustrationen tippt, erscheinen Sie im Vollbildformat, in welchem sie sich deutlich besser entziffern lassen. Ha – „ent-Ziffern“! Treffender kann man es in diesem Zusammenhang gar nicht nennen)

Auf der linken Seite haben wir pro Zeile je eine Stelle hinzugefügt – und zwar so, dass die Multiplikation dieser Zahl mit sich selbst gerade noch kleiner als 2 ist. Rechts hingegen, haben wir die Stellen so hinzugefügt, dass die Multiplikation der Zahl mit sich selbst immer gerade noch größer als 2 bleibt. In der Mitte stehen die Differenzen zwischen der jeweils rechten und linken Zahl. Man sieht, dass beide Seiten sich immer mehr der 2 annähern und die Differenz aus beiden entsprechend immer kleiner wird.

Frage: wie oft müssen wir das jetzt so fortführen, bis wir endlich die Wurzel aus 2 vollständig dastehen haben – bis die Differenz zwischen beiden Seiten also Null ist?

Antwort: für immer und ewig. Käme dieser Prozess je zu einem Ende, so hätten wir eine endliche Dezimalzahl, die wir – wie oben festgestellt – in einen Bruch verwandeln könnten. Klar, das kann dann schon eine Zahl mit beeindruckend vielen Nachkommastellen sein, aus der dann entsprechend ein Bruch mit gigantischem Zähler und nicht weniger spektakulärem Nenner wird. Aber es wäre dennoch ein Bruch aus zwei ganzen Zahlen und damit wäre die Wurzel aus 2 dann doch eine rationale Zahl, was wir im vorangegangenen Beitrag aber eindeutig widerlegt hatten.

Daher: die Dezimaldarstellung irrationaler Zahlen ist weder endlich noch reinperiodisch oder gemischtperiodisch. Es kommen einfach immer und ewig neue Nachkommastellen hinzu, ohne dass je eine Periode entstehen würde. Dabei nähert sich die so entstehende Folge rationaler Zahlen immer mehr der gesuchten irrationalen Zahl an, bleibt aber dennoch immer auf Abstand zu ihr –wenngleich sich dieser Abstand auf ein beliebig kleines Maß reduzieren lässt, indem man einfach noch mehr Nachkommastellen ausrechnet. Irgendwie schwer vorzustellen, oder?

Tatsächlich sind die irrationalen Zahlen im Wesentlichen genauso definiert, wie wir es oben illustrativ dargestellt haben. Sie sind die sogenannten „Grenzwerte“ der unendlichen Weiterentwicklung des oben gezeigten Vorgehens, also gerade jene Zahl, auf die beide Seiten der obigen Darstellung letztlich zustreben, wenn man immer so weitermacht. Die Mathematiker reden hier von sogenannten „Cauchy-Folgen“, die nach ihrem geistigen Vater, dem 1789 geborenen französischen Mathematiker, Physiker und Ingenieur Augustin-Louis Cauchy benannt worden sind.

Nun wird hoffentlich auch deutlich, warum man diese Zahlen mit Fug und Recht als „irrational“ bezeichnet: ihr eigentlicher Zahlenwert lässt sich nicht in für uns fassbaren Kategorien bestimmen. Er liegt gewissermaßen hinter dem unerreichbaren Horizont der Unendlichkeit. Zwar können wir problemlos beliebig genaue rationale Näherungen für jede irrationale Zahl angeben, so dass wir uns entsprechend nah an den eigentlichen Wert der Zahl herantasten können. Dennoch existieren die tatsächlichen irrationalen Zahlen letztlich nur im Verborgenen des nicht enden wollenden Tunnels ihrer Cauchy-Folge – quasi als abstrakte Gedankenkonstruktionen.

Wer kann damit rechnen?

Dass man die eigentlichen Werte der irrationalen Zahlen nicht wirklich angeben kann, wirft natürlich die berechtigte Frage auf, wie man denn überhaupt etwas mit ihnen berechnen kann. Die traurige Wahrheit ist: im Allgemeinen kann man tatsächlich nicht mit irrationalen Zahlen rechnen. Man kann sich aber stattdessen recht gut behelfen, indem man solange es geht symbolisch rechnet, also zum Beispiel einfach den Ausdruck „\sqrt{2}“ stehen lässt, bis drumherum alles soweit gerechnet ist, wie es irgend geht, und erst dann eine beliebig genaue Näherung an seine Stelle setzt, wenn man anders nicht mehr weiterkommt:

Ihr müsst jetzt nicht wirklich verstehen, was da oben wie gerechnet wird. Schaut bitte erst einmal nur auf den blau markierten Teil, in welchem gerade die Tatsache ausgenutzt wird, dass per definitionem 2 herauskommt, wenn man die Wurzel aus 2 mit sich selbst multipliziert. Daher wird aus \sqrt{2}\times\sqrt{2} in der zweiten Zeile einfach nur noch eine 2 in der dritten Zeile. Den eigentlichen Wert der Wurzel aus 2 muss man dafür nicht kennen. Irgendwann (nämlich in der dritten Zeile von unten) kommen wir dann aber nicht mehr weiter, ohne die Wurzel aus 2 durch eine endliche Dezimalzahl zu ersetzen, die nur noch eine Näherung für die eigentliche Wurzel aus 2 ist. Daher schreiben wir dann kein Gleichheitszeichen („=“), sondern ein Ungefährgleichzeichen („≈“) davor, denn wir haben das Symbol für die Wurzel aus 2 durch etwas ersetzt, dass ihr eben nur ungefähr gleicht.

Immerhin kann man sich aber aussuchen, wie viele Nachkommastellen man für die einzusetzende Näherung verwendet, so dass man immer dafür sorgen kann, dass das Ergebnis für den jeweils gewünschten Zweck genau genug ausfällt.

Übrigens: es gibt irrationale Zahlen, mit denen man nicht einmal mehr Berechnungsschritte wie den blau markierten in der obigen Berechnung durchführen kann. Die heißen dann „transzendente Zahlen“, während irrationale Zahlen wie die Wurzel aus 2 „algebraische Zahlen“ genannt werden. Die transzendenten Zahlen sind also gewissermaßen noch irrationaler als die algebraischen Zahlen – was immer das jetzt schon wieder heißen soll. Bekannte transzendente Zahlen sind jedenfalls die legendäre Kreiszahl „π“ oder die nicht weniger bedeutsame Euler’sche Zahl „e„.

Unter sich bleiben

Unser Ziel bei der Einführung der Reellen Zahlen war es ja, dafür zu sorgen, dass die Addition, Multiplikation und das Potenzieren (mit ganzzahligen Exponenten) samt ihrer jeweiligen Umkehroperationen, die Subtraktion, das Dividieren und das Wurzelziehen, allesamt Ergebnisse produzieren, die innerhalb unserer bekannten Zahlenwelt verbleiben. Gilt das jetzt aber auch wirklich?

Dazu unterscheiden wir drei mögliche Fälle:

  1. Die beiden zu verknüpfenden reellen Zahlen sind beide rational (bzw. die Basis beim Potenzieren mit ganzzahligen Exponenten ist rational).
  2. Die beiden zu verknüpfenden reellen Zahlen sind beide irrational (dieser Fall kann beim Potenzieren mit ganzzahligen Exponenten nicht vorkommen).
  3. Eine der beiden zu verknüpfenden reellen Zahlen ist rational, die andere irrational (bzw. die Basis beim Potenzieren mit ganzzahligen Exponenten ist irrational).

Fall 1 ist einfach: sind beide zu verknüpfenden Zahlen rational erhalten wir, wie im vorangegangenen Beitrag gezeigt, (außer beim Wurzelziehen) ja sowieso immer eine rationale Zahl und damit insbesondere eine reelle Zahl (wir erinnern uns, die Reellen Zahlen enthalten die Rationalen Zahlen). Aber auch das Ziehen einer Wurzel aus einer rationalen Zahl ergibt, wie oben beschrieben, letztlich eine irrationale Zahl – und zwar als Grenzwert einer geeigneten Cauchy-Folge von Dezimalzahlen, die sich der gesuchten irrationalen Wurzel auf beliebig kleinem Abstand nähert. Am Ende (wenn wir es denn erreichen könnten) stünde dann eine irrationale und damit insbesondere eine reelle Zahl.

Fall 2 (wir verknüpfen zwei irrationale Zahlen) ist schon deutlich komplizierter. Um nämlich beurteilen zu können, ob das Ergebnis unserer Verknüpfung innerhalb der Reellen Zahlen liegt, müssen wir überhaupt erst einmal verstehen, wie man etwa zwei irrationale Zahlen addiert, obwohl man beide weder als Bruch noch als endliche, reinperiodische oder gemischtperiodische Dezimalzahl darstellen kann.

Die Lösung: man bildet je eine endliche (und damit rationale) Näherung für beide Zahlen und addiert diese beiden Näherungen dann wie rationale Zahlen. Anschließend bildet man etwas genauere Näherungen und addiert sie wieder. Das kann man dann immer weiter machen und erhält somit eine Folge von immer genaueren Näherungen, die dem gesuchten Ergebnis demnach immer genauer entsprechen. Und gerade das ist dann wieder so eine dieser Cauchy-Folgen, deren Grenzwert das gesuchte Ergebnis unserer Addition zweier irrationaler Zahlen ist, wie nachstehend an der Summe \sqrt{3}+\sqrt{2} illustriert:

Auf genau dieselbe Weise kann man die Subtraktion, Multiplikation und Division aber auch das Potenzieren mit ganzzahligen Exponenten und das Wurzelziehen zweier irrationaler Zahlen beschreiben. Es entsteht dann immer eine Cauchy-Folge die gegen das gesuchte Ergebnis der jeweiligen Operation strebt und deren Grenzwert damit jener irrationale Zahl entspricht, die als Ergebnis der ausgeführten Operation herauskommt. Da die Irrationalen Zahlen in den Reellen Zahlen enthalten sind, liegt das eben beschriebene irrationale Ergebnis damit immer auch in den Reellen Zahlen. Die bisher betrachteten Rechenarten haben demnach allesamt Ergebnisse, die innerhalb der Reellen Zahlen bleiben, wenn sie auf zwei irrationale Zahlen angewandt werden – und zwar natürlich auch dann, wenn die Verknüpfung zweier irrationaler Zahlen uns zufällig mal eine rationale Zahl liefert, wie etwa \sqrt{2}\times\sqrt{2}, was ja per definitionem 2 ergibt.

Fall 3 (also die Verknüpfung einer rationalen mit einer irrationalen Zahl) ist dann fast genauso wie Fall 2, mit dem einzigen Unterschied, dass jetzt auf einer Seite immer schon die volle Dezimaldarstellung der verwendeten rationalen Zahl steht. Beispiel:Unterm Strich können wir also mit Fug und Recht behaupten, dass uns nunmehr keine der betrachteten Rechenarten Ergebnisse liefert, die außerhalb der Reellen Zahlen liegen. Unser Wurzelproblem ist damit also nun auch geheilt.

Tatsächlich sind die Reellen Zahlen gewissermaßen die Zahlen schlechthin, denn sie sind nichts Geringeres die zahlenmäßige Repräsentation des Kontinuums, so dass sie insbesondere für die einschlägigen mathematischen Grundlagen der Physik und Geometrie unverzichtbar sind. So wäre etwa gesamte Analysis ohne die Reellen Zahlen schlicht undenkbar. Die Mathematikaversen unter Euch mögen jetzt instinktiv denken: „I don’t give a f…“ – gäbe es doch bloß keine reellen Zahlen, dann wäre uns die unsägliche Kurvendiskussion erspart geblieben (obwohl ich sicher bin, dass auch Ihr gerne trefflich über so manche Kurven diskutiert).

Jedenfalls kann man sich die Reellen Zahlen am besten als Strahl vorstellen, der sich – ausgehend von der Null – kontinuierlich in die positive und negative Richtung fortsetzt, und zwar jeweils bis in alle Unendlichkeit:

Unendlich kompliziert

Apropos Unendlichkeit: auch wenn es natürlich bereits unendlich viele rationale Zahlen gibt, es gibt trotzdem noch viel mehr reelle Zahlen.

„Hä? Mehr also unendlich? Hast Du gestern Abend was genommen?“

Doch. Ist wirklich so und es liegt in der Tat an den irrationalen Zahlen, die ihrerseits – wie die Mathematiker sagen – überabzählbar sind. Das heißt, vereinfacht gesagt, dass man sie kategorisch nicht in eine geeignete Reihenfolge bringen kann, die man dann mit „eins“, „zwei“, „drei“, „vier“ usw. nacheinander abzählen kann. Dass das demgegenüber sehr wohl bei den Rationalen Zahlen machbar ist, sollte an folgender Illustration erkennbar werden:

Unsere Spalten sind fortlaufend mit allen möglichen Zählern 1, 2, 3, 4 usw. beschriftet, während wir die Zeilen fortlaufend mit allen möglichen Nennern 1, 2, 3, 4 usw. beschriftet haben. In jeder Zelle steht demnach der Bruch, dessen Zähler im zugehörigen Spaltenkopf und dessen Nenner im zugehörigen Zeilenkopf steht. Es sollte damit klar sein, dass die Tabelle, sofern sie nach allen Seiten im gegebenen Schema unendlich fortgesetzt wird, alle möglichen rationalen Zahlen enthält (wir lassen die Null und die negativen Brüche mal aus Gründen der Übersichtlichkeit weg – das hier vorgestellte Prinzip würde aber auch mit der Null und den negativen Zahlen funktionieren).

Nun gehen wir gemäß den goldbraunen Pfeilen alle Zellen nacheinander durch: wir fangen links oben an, gehen eins nach unten, dann diagonal rechts hoch bis zur ersten Zeile, dann eins nach rechts, dann diagonal links runter bis  zur ersten Spalte, dann wieder eins nach unten usw. Jedesmal, wenn wir auf diese Weise an einer Zelle vorbeikommen, erhält diese eine Nummer, die jeweils um eins größer ist, als diejenige der zuletzt besuchten Zelle. Das Ganze beginnt links oben mit der 1. Auf diese Weise erhält jeder mögliche Bruch eine eindeutige Nummer. Wir können also alle möglichen Brüche – und damit alle rationalen Zahlen – aufzählen. Das hier gezeigte Aufzählungsprinzip nennt sich naheliegender Weise „Diagonalisierung“ und geht auf den 1845 in Sankt Petersburg geborenen deutschen Mathematiker Georg Cantor zurück. Er hat auch zunächst im Jahre 1874, dann aber nochmals in wesentlich eleganterer Form im Jahre 1891 bewiesen, dass man die Reellen Zahlen eben gerade nicht aufzählen kann, so dass es wirklich mehr reelle als rationale Zahlen gibt, auch wenn beide Mengen unendlich groß sind. Beide seiner Beweise sind wirklich beeindruckend, aber selbstverständlich werde ich Euch hier nicht mit sowas Abstraktem behelligen – es sei denn, einer schreibt mir hier einen ernst gemeinten Kommentar, der da lautet „verstehen will!“.

Negativ denken

Fein, dann haben wir es also endlich geschafft. Alle bisherigen Rechenarten führen nun endlich nicht mehr aus unserer mittlerweile ja auch schon oft genug erweiterten Zahlenwelt – also den Reellen Zahlen – hinaus und die Reellen Zahlen sind echt was ganz besonderes. Können wir jetzt bitte endlich zur Mandelbrotmenge kommen?

Leider immer noch nicht. Denn es gibt schlechte Nachrichten, liebe Leute. Wir haben nämlich all die Zeit geflissentlich unterschlagen, dass wir beim Wurzelziehen nur deshalb innerhalb der Reellen Zahlen bleiben, weil die Mathematiker aus gutem Grunde festgelegt haben, dass das Wurzelziehen nur für nicht-negative Zahlen (also nur für positive Zahlen und die Null) erlaubt ist. Genau genommen hat ja jede nicht-negative reelle Zahl nicht nur eine sondern gleich zwei Wurzeln.

Nehmen wir beispielsweise die Zahl 4. Ihre Wurzel ist bekanntlich die 2, denn 22 (also 2×2) ist 4. Aber (-2)2 – also (-2)×(-2) – ist doch eigentlich auch 4, denn, wie in meinem Beitrag zu den Ganzen Zahlen ausführlich dargelegt, es gilt ja „minus mal minus ist plus“. Dann ist aber auch -2 eine Wurzel von 4.

Soweit, so gut. Was ist dann aber die Wurzel aus -4? Weder die 2 noch die -2 kommen dafür in Frage, denn wie eben erwähnt, kommt bei beiden 4 heraus, wenn man sie mit sich selbst multipliziert. Man müsste also die 2 mit der -2 multiplizieren, aber die Wurzel aus -4 ist nun einmal als diejenige Zahl definiert, die man mit sich selbst multiplizieren muss, um -4 zu erhalten. Und 2 und -2 sind eindeutig verschiedene Zahlen. Gibt es dann vielleicht irgendetwas, was so halb minus und halb plus ist, so dass man „halbminus 2“ mal „halbminus 2“ rechnen und dann irgendwie -4 rausbekommen könnte? Mit anderen Worten: gibt es vielleicht so etwas wie „pogative“ oder „nesitive“ Zahlen?

Die Antwort darauf ist: Jein. So etwas gibt es nicht – und schon gar nicht in den Reellen Zahlen. Aber wir haben ja jetzt im Rahmen dieser Beitragsserie oft genug erlebt, was die Mathematiker machen, wenn es etwas nicht gibt, das man aber gerne hätte, um alle Rechenarten innerhalb der bekannten Zahlenwelt zu halten.

Denken wir etwa an die Negativen Zahlen. Sie sind, wie in meinem Beitrag zu den Ganzen Zahlen ausführlich erläutert, alles andere als intuitiv und doch haben wir sie – Intuition hin oder her – einfach mit Hilfe der Eigenschaften definiert, die sie haben müssen, um die Ergebnisse der Subtraktion innerhalb der Ganzen Zahlen zu halten. Warum also können wir nicht einfach nach demselben Schema weitere Zahlen hinzuerfinden, die so definiert sind, dass auch negative Zahlen Wurzeln haben?

Genau davon wird der nächste Teil dieser Beitragsserie handeln. Und ich verspreche hoch und heilig: danach werden wir wirklich bei der Mandelbrot-Menge angekommen sein.

Alles Liebe

Daniel

 

Ein Gedanke zu „Vom Zählen zur Mandelbrotmenge – Teil 4: Reelle Zahlen“

  1. Sehr anschaulich dargestellt. Shkoiech! Kleiner Hinweis: streng genommen ist die Dezimaldarstellung (und das ganze Dezimalsystem) ja nur eine (recht beliebige) Darstellung, die uns nur deshalb so intuitiv erscheint, weil Menschen seit jeher mit zehn Fingern rechnen. Eigentlich ist das Binärsystem die fundamentalste Zahlendarstellung. Das ist in diesem Fall nicht völlig irrelevant, da Deine Artikelserie ja auf ein computer-generiertes Phänomen hinzielt, welches Zahlen nun mal im Binärsystem darstellt.

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