Brü­che vs. Dezi­mal­zah­len

Hal­lo Ihr Lie­ben,

im Rah­men mei­ner Bei­trags­se­rie zur Man­del­brot­men­ge haben wir uns im vier­ten Teil die­ser Serie mit den Reel­len Zah­len beschäf­tigt. Ich hat­te dar­in die dreis­te Behaup­tung auf­ge­stellt, dass die Über­füh­rung von Dezi­mal­zah­len in Brü­che und umge­kehrt ein­fach zu bewerk­stel­li­gen sei. Im vor­lie­gen­den Bei­trag möch­te ich den Ver­such unter­neh­men zu zei­gen, dass die Behaup­tung gar nicht so dreist gewe­sen ist und man sich die ent­spre­chen­den Umfor­mun­gen mit ein wenig Grund­schul­ma­the­ma­tik durch­aus recht anschau­lich erschlie­ßen kann.

Vom Bruch zur Dezi­mal­zahl

Begin­nen wir also mit der Über­füh­rung von Brü­chen in Dezi­mal­zah­len. Was Brü­che sind, haben wir in Teil 3 der Man­del­brot-Serie aus­führ­lich betrach­tet und was Dezi­mal­zah­len sind in Teil 4. Ich gehe jetzt also mal davon aus, dass Ihr das alles soweit ver­in­ner­licht habt. Ich mei­ne: bei so einer bril­lan­ten Didak­tik wie der Mei­ni­gen flutscht sowas prak­tisch von selbst. Ja – von mei­ner Beschei­den­heit ganz zu schwei­gen.

Also wisst Ihr dem­nach sicher noch, dass etwa der Bruch “9/8” für die Rechen­auf­ga­be “9÷8” steht. Um von hier zu einer ent­spre­chen­den Dezi­mal­zahl zu kom­men, erin­nern wir uns an die schrift­li­che Divi­si­on, die wir in der Schu­le (lie­ben) gelernt haben und schrei­ben die Auf­ga­be brav in der Form Divi­dend, Divi­si­ons­zei­chen, Divi­sor und Gleich­heits­zei­chen auf unser Blatt:

Dann schau­en wir wie oft der Divi­sor 8 in die ers­te (und in die­sem Fall ein­zi­ge) Zif­fer des Divi­den­den 9 geht. Offen­bar passt die 8 nur ein­mal in die 9, so dass wir schon mal eine “1” hin­ter das Gleich­heits­zei­chen und 1×8 – also 8 – unter die bis­he­ri­ge Rech­nung schrei­ben:

Wie in der Schu­le gelernt müs­sen wir jetzt die Dif­fe­renz “9−8” errech­nen und das Ergeb­nis – also die 1 – unter die 8 schrei­ben. Die 8 geht aber nicht in eben jene 1, wes­we­gen wir die nächs­te Zif­fer von oben neben unse­re 1 schrei­ben müs­sen. Rechts neben der 9 steht oben aber kei­ne Zif­fer mehr. Also fügen wir eine “0” an die 1 und schrei­ben ein Kom­ma neben die 1 im Ergeb­nis:

Wir erhal­ten eine “10”, in wel­che die 8 wie­der­um ein­mal hin­ein­passt. Die­se Fest­stel­lung notie­ren wir gleich in unser Ergeb­nis neben das gera­de gesetz­te Kom­ma und schrei­ben wie­der 1×8 – also 8 – unter die bis­he­ri­ge Rech­nung:

Nun müs­sen wir die Dif­fe­renz “10−8” – also 2 – unter unse­re bis­he­ri­ge Rech­nung schrei­ben, aber auch in die 2 passt die 8 nicht hin­ein, so dass wir eine wei­te­re 0 aus dem längst erschöpf­ten Zif­fern­vor­rat des Divi­den­den holen müs­sen:

Wir erhal­ten die Zahl 20, in wel­che unser Divi­sor, die 8, immer­hin schon zwei­mal rein­passt. Daher schrei­ben wir eine 2 an unser bis­he­ri­ges Ergeb­nis und 2×8 – also 16 – unter die bis­he­ri­ge Rech­nung:

Es folgt eine wei­te­re Dif­fe­renz­bil­dung – dies­mal 20−16, also 4. Aber auch in die 4 passt unse­re 8 nicht hin­ein, so dass wir schon wie­der eine Null aus dem nicht mehr vor­han­de­nen Zif­fern­vor­rat des Divi­den­den holen müs­sen:

Wir erhal­ten damit die Zahl 40, in wel­che die 8 genau fünf­mal hin­ein­passt. Die­se 5 schrei­ben wir neben unser bis­he­ri­ges Ergeb­nis und 5×8 – also die 40 selbst – unter die bis­he­ri­ge Rech­nung:

Schließ­lich folgt mal wie­der die Dif­fe­renz­bil­dung zwi­schen den zuletzt unter­ein­an­der­ge­schrie­be­nen Zah­len – dies­mal 40−40, also 0. Die­se schrei­ben wir unter unse­re bis­he­ri­ge Rech­nung:

Wenn wir jetzt sehr sche­ma­tisch wären, müss­ten wir fest­stel­len, dass die 8 wie­der­um nicht in die 0 passt und eine wei­te­re 0 neben die zuletzt errech­ne­te 0 stel­len. Dann wür­den wir fest­stel­len, dass die 8 null Mal da hin­ein­passt, eine 0 neben unser bis­he­ri­ges Ergeb­nis und 0×8 – also 0 – unter die bis­he­ri­ge Rech­nung schrei­ben. Damit gelan­gen wir aber nach der obli­ga­to­ri­schen Dif­fe­renz­bil­dung – also 0−0 und damit 0 – an genau die­sel­be Situa­ti­on, die wir bereits hat­ten, nur dass jetzt noch eine 0 mehr an unse­rem Ergeb­nis steht:

Man kann sich leicht über­le­gen, dass die­ser Vor­gang, wenn man unbe­dingt will, für immer fort­ge­setzt wer­den kann, so dass wir unend­lich vie­le Nul­len rechts an unser Ergeb­nis schrei­ben wür­den. Tat­säch­lich endet jede Divi­si­on zwei­er gan­zer Zah­len mit so einer Wie­der­ho­lung ein und der­sel­ben Zif­fer bzw. – im all­ge­mei­nen Fall – mit der Wie­der­ho­lung ein und der­sel­ben Zif­fern­fol­ge. Die Mathe­ma­ti­ker nen­nen die­sen sich wie­der­ho­len­den Teil “Peri­ode”. Aller­dings schrei­ben sie die­se Peri­ode nur ein ein­zi­ges Mal hin, mar­kie­ren sie dafür aber mit einem Strich drü­ber, um durch ihn kennt­lich zu machen, wel­che Zif­fern­fol­ge zur Peri­ode gehört:

9\div 8 = 1,125000000\ldots = 1,125\overline{0}

Besteht die Peri­ode ledig­lich aus einer 0, so lässt man sie übli­cher­wei­se weg. Unse­re Dezi­mal­zahl für 9/8 lau­tet dem­nach schlicht “1,125”. So eine Dezi­mal­zahl heißt “end­lich”, weil sie – nach­dem wir die Peri­ode “0” ein­fach kon­ven­ti­ons­ge­mäß weg­ge­las­sen haben – eben nur end­lich vie­le Stel­len rechts vom Kom­ma hat. Dass das in vie­len Fäl­len anders ist, zei­gen die fol­gen­den Bei­spie­le, die Ihr Euch, wenn Ihr Lust habt, ger­ne mal vor­neh­men und gemäß oben gezeig­tem Sche­ma nach­voll­zie­hen könnt, war­um sie wirk­lich die genann­ten Ergeb­nis­se haben:

\frac{20}{13} = 1,538461\,538461\,538461\,538461\,538461\ldots = 1,\overline{538461}

\frac{1301}{14} = 92,92\,857142\,857142\,857142\ldots = 92,92\overline{857142}

Dezi­mal­zah­len wie die aus dem ers­ten Bei­spiel wer­den dann wirk­lich “peri­odi­sche Zahl” genannt, wäh­rend sol­che wie die aus dem zwei­ten Bei­spiel, bei  denen also erst ein paar sich nicht wie­der­ho­len­de Zif­fern vor der Peri­ode ste­hen, “gemisch­t­pe­ri­odi­sche Zahl” genannt wer­den. Aber wie gesagt: streng genom­men sind alle Dezi­mal­zah­len gemisch­t­pe­ri­odisch, nur eben dass der nicht-peri­odi­sche Anfangs­teil hin­term Kom­ma halt auch ein­fach die Län­ge “0” haben kann (dann exis­tiert die­ser Anfangs­teil also gar nicht erst und die Zahl ist damit nur “peri­odisch”) oder die Peri­ode auch mal nur aus Nul­len bestehen kann (dann ist die Zahl “end­lich”, weil wir die Nul­len dann, wie oben erläu­tert, ein­fach alle­samt weg­las­sen kön­nen).

Von der Dezi­mal­zahl zum Bruch

Den Weg von der Dezi­mal­zahl zum Bruch haben wir wohl eher nicht so direkt in der Schu­le gelernt. Komisch eigent­lich, denn das rei­ne Rech­nen ist mit Brü­chen viel ein­fa­cher als mit Dezi­mal­zah­len (jaja, schon gut, das sehen eini­ge von Euch sicher anders. Ich behaup­te aber: es stimmt trotz­dem).

Fan­gen wir also mal mit einer end­li­chen Dezi­mal­zahl an, also einer sol­chen, die kei­ne Peri­ode hat (außer der Null, aber dann kön­nen wir sie ja – wie oben erläu­tert – ein­fach weg­las­sen):

9,876

Dann schrei­ben wir die­se Zahl doch ein­fach mal in den Zäh­ler unse­res gesuch­ten Bru­ches und eine 1 in den Nen­ner:

\frac{9,876}{1}

Wir sind uns einig, dass das immer noch die­sel­be Zahl ist, oder? Ich tei­le mei­ne 9,876 ein­fach durch 1. Das darf man ja wohl gera­de noch. Nun mul­ti­pli­zie­ren wir Zäh­ler und Nen­ner glei­cher­ma­ßen mit “10”:

\frac{10\times 9,876}{10\times 1}

Auch das darf man, denn eigent­lich ent­spricht das fol­gen­der Rech­nung:

\frac{10}{10}\times\frac{9,876}{1}

Da 10/10 nichts ande­res ist als 10 geteilt durch 10 – und damit 1 – haben wir also nicht wei­ter getan, als unse­ren Bruch mit 1 zu mul­ti­pli­zie­ren, wodurch er sich bekannt­lich nicht im Wert ver­än­dert. Das ergibt aber fol­gen­den Bruch:

\frac{98,76}{10}

Das Kom­ma im Zäh­ler ist also eine Posi­ti­on nach rechts gewan­dert und beim Nen­ner ist eine Null rechts dazu­ge­kom­men. Jetzt müs­sen wir das Gan­ze noch zwei­mal wie­der­ho­len und gelan­gen schließ­lich zu fol­gen­dem Bruch:

\frac{9876}{1000}

Voi­là. Da ist unser Bruch. Den kann man natür­lich noch aus ästhe­ti­schen Grün­den kür­zen, aber so, wie er da steht, ist er bereits ein Bruch, der exakt den­sel­ben Wert hat wie unse­re ursprüng­li­che Dezi­mal­zahl.

Der klei­ne Unter­schied

Was aber machen wir dann mit peri­odi­schen Brü­chen? Im Grun­de fast das­sel­be. Wir schrei­ben die Peri­ode genau ein­mal in den Zäh­ler, eine 1 in den Nen­ner und mul­ti­pli­zie­ren das Gan­ze wie­der solan­ge mit 10/10, bis das Kom­ma weg ist. Bei­spiel:

0,\overline{456}\Rightarrow\frac{456}{1000}

Das Ein­zi­ge, was wir jetzt noch tun müs­sen, ist vom Nen­ner eine 1 abzu­zie­hen:

\frac{456}{999}

Das brau­chen wir, weil wir sonst kei­ne peri­odi­sche Dezi­mal­zahl erhal­ten wür­den, wenn wir den Bruch – wie oben beschrie­ben – durch schrift­li­ches Divi­die­ren in eine Dezi­mal­zahl zurück­ver­wan­deln wol­len. Dazu schau­en wir uns an, was pas­siert, wenn wir genau dies tun:

Man sieht also, dass man nach genau drei Nach­kom­ma­stel­len wie­der auf die 456 stößt, mit der man die Divi­si­on begon­nen hat. Es soll­te nicht all­zu schwer erkenn­bar sein, dass man die­sen Vor­gang jetzt bis zum Sankt-Nim­mer­leins­tag fort­set­zen kann und damit unse­re ursprüng­li­che peri­odi­sche Dezi­mal­zahl erhält.

War­um ist das aber so? Nun, betrach­ten wir uns mal genau­er, was wir gera­de gemacht haben. Wir haben den Zäh­ler, wie bei den end­li­chen Dezi­mal­zah­len mit “1000” mul­ti­pli­ziert – also mit einer “1”, der genau­so vie­le Nul­len fol­gen, wie die Anzahl der Stel­len, um die wir das Kom­ma nach rechts ver­scho­ben haben. Den Nen­ner hin­ge­gen haben wir nicht mit der­sel­ben Zahl mul­ti­pli­ziert, son­dern die­se um eins ver­rin­gert und so “999” erhal­ten:

\frac{1000\times 0,456}{999\times 1}

Das ent­spricht also der Mul­ti­pli­ka­ti­on von 0,456 mit 1000/999:

\frac{1000}{999}\times 0,456

Schrei­ben wir doch ein­fach mal 1000/999 als Dezi­mal­zahl hin (wer will, kann das durch schrift­li­che Divi­si­on machen):

\frac{1000}{999}=1,001001001001\ldots

Dass die­ses Ergeb­nis raus­kommt, liegt gera­de dar­an, dass die 999 eben nicht nur ein ein­zi­ges Mal in die 1000 rein­passt son­dern noch ein ganz klei­nes biss­chen öfter. Und die­ses klei­ne Biss­chen sorgt dafür, dass drei Stel­len hin­term Kom­ma wie­der eine 1 auf­taucht, denn dann hät­te man beim schrift­li­chen Divi­die­ren wie­der genug Nul­len an die zuletzt ver­blie­be­ne 1 (=1000–999) geschrie­ben, um die 999 wie­der ganz dar­un­ter schrie­ben zu kön­nen. Es ist nicht schwer ein­zu­se­hen, dass sich die­ser Vor­gang dann für immer peri­odisch fort­setzt. Das heißt aber fol­gen­des:

\frac{1000}{999}\times 0,456=1,001001001001\ldots\times 0,456

Unse­re Peri­ode “0,456” kommt also ein­mal ganz vor (macht 0,456), dann noch ein Tau­sends­tel davon dazu (also 0,000456) dann noch ein Mil­lio­nen­stel dazu (also 0,000000456) und so wei­ter. Es soll­te nicht all­zu schwer erkenn­bar sein, dass dann gera­de unse­re Ursprungs­zahl 0,456456456… her­aus­kommt.

Soweit also zu den peri­odi­schen Zah­len.

Die Mischung macht’s

Und wie machen wir es mit den Gemisch­t­pe­ri­odi­schen? Ganz ein­fach: wir zer­le­gen sie in eine Sum­me aus einer End­li­chen und einer Peri­odi­schen,  rech­nen dann für bei­de getrennt die Dezi­mal­zahl wie oben beschrie­ben aus und addie­ren die bei­den ent­ste­hen­den Ergeb­nis­se zum Schluss wie­der zusam­men. Bei­spiel:

98,76\overline{45}

Dies ent­spricht der Sum­me:

98,76+0,00\overline{45}

Für den lin­ken, end­li­chen Teil, wis­sen wir schon, dass fol­gen­der Bruch her­aus­kommt:

\frac{9876}{100}

Den rech­ten Teil “schie­ben” wir zunächst durch fort­ge­setz­tes Mul­ti­pli­zie­ren mit “10/10” an das Kom­ma her­an:

\frac{0,\overline{45}}{100}

Den Zäh­ler wan­deln wir dann in einen Bruch um, wie wir es oben für peri­odi­sche Zah­len dar­ge­legt haben:

\frac{\frac{45}{99}}{100}

Das ent­spricht der Rech­nung

\frac{45}{99}\div 100

Durch 100 zu tei­len, ist – wir erin­nern uns – das­sel­be, wie mit dem Kehr­wert von 100 zu mul­ti­pli­zie­ren:

\frac{45}{99}\times\frac{1}{100}

Und das ist dann schließ­lich

\frac{45\times 1}{99\times 100}

bzw.

\frac{45}{9900}

Das Gan­ze addie­ren wir dann noch zu unse­rem lin­ken Teil von oben:

\frac{9876}{100}+\frac{45}{9900}

Wir brin­gen also bei­de Brü­che auf einen gemein­sa­men Nen­ner:

\frac{9876\times 99}{100\times 99}+\frac{45}{9900}

Und erhal­ten

\frac{977724}{9900}+\frac{45}{9900}=\frac{977769}{9900}

Und schon haben wir unse­ren Ergeb­nis­bruch: 977769/9900. Wer will, kann nach­rech­nen, dass wie­der unse­re Aus­gangs­de­zi­mal­zahl her­aus­kommt, wenn man die­se Zahl durch schrift­li­ches Divi­die­ren aus­rech­net:

\frac{977769}{9900}=98,76\overline{45}

Noch Fra­gen? Nutzt doch ein­fach die Kom­men­tar­funk­ti­on gleich unter die­sem Bei­trag.

Alles Lie­be

Dani­el

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