Brüche vs. Dezimalzahlen

Hallo Ihr Lieben,

im Rahmen meiner Beitragsserie zur Mandelbrotmenge haben wir uns im vierten Teil dieser Serie mit den Reellen Zahlen beschäftigt. Ich hatte darin die dreiste Behauptung aufgestellt, dass die Überführung von Dezimalzahlen in Brüche und umgekehrt einfach zu bewerkstelligen sei. Im vorliegenden Beitrag möchte ich den Versuch unternehmen zu zeigen, dass die Behauptung gar nicht so dreist gewesen ist und man sich die entsprechenden Umformungen mit ein wenig Grundschulmathematik durchaus recht anschaulich erschließen kann.

Vom Bruch zur Dezimalzahl

Beginnen wir also mit der Überführung von Brüchen in Dezimalzahlen. Was Brüche sind, haben wir in Teil 3 der Mandelbrot-Serie ausführlich betrachtet und was Dezimalzahlen sind in Teil 4. Ich gehe jetzt also mal davon aus, dass Ihr das alles soweit verinnerlicht habt. Ich meine: bei so einer brillanten Didaktik wie der Meinigen flutscht sowas praktisch von selbst. Ja – von meiner Bescheidenheit ganz zu schweigen.

Also wisst Ihr demnach sicher noch, dass etwa der Bruch „9/8“ für die Rechenaufgabe „9÷8“ steht. Um von hier zu einer entsprechenden Dezimalzahl zu kommen, erinnern wir uns an die schriftliche Division, die wir in der Schule (lieben) gelernt haben und schreiben die Aufgabe brav in der Form Dividend, Divisionszeichen, Divisor und Gleichheitszeichen auf unser Blatt:

Dann schauen wir wie oft der Divisor 8 in die erste (und in diesem Fall einzige) Ziffer des Dividenden 9 geht. Offenbar passt die 8 nur einmal in die 9, so dass wir schon mal eine „1“ hinter das Gleichheitszeichen und 1×8 – also 8 – unter die bisherige Rechnung schreiben:

Wie in der Schule gelernt müssen wir jetzt die Differenz „9−8“ errechnen und das Ergebnis – also die 1 – unter die 8 schreiben. Die 8 geht aber nicht in eben jene 1, weswegen wir die nächste Ziffer von oben neben unsere 1 schreiben müssen. Rechts neben der 9 steht oben aber keine Ziffer mehr. Also fügen wir eine „0“ an die 1 und schreiben ein Komma neben die 1 im Ergebnis:

Wir erhalten eine „10“, in welche die 8 wiederum einmal hineinpasst. Diese Feststellung notieren wir gleich in unser Ergebnis neben das gerade gesetzte Komma und schreiben wieder 1×8 – also 8 – unter die bisherige Rechnung:

Nun müssen wir die Differenz „10−8“ – also 2 – unter unsere bisherige Rechnung schreiben, aber auch in die 2 passt die 8 nicht hinein, so dass wir eine weitere 0 aus dem längst erschöpften Ziffernvorrat des Dividenden holen müssen:

Wir erhalten die Zahl 20, in welche unser Divisor, die 8, immerhin schon zweimal reinpasst. Daher schreiben wir eine 2 an unser bisheriges Ergebnis und 2×8 – also 16 – unter die bisherige Rechnung:

Es folgt eine weitere Differenzbildung – diesmal 20−16, also 4. Aber auch in die 4 passt unsere 8 nicht hinein, so dass wir schon wieder eine Null aus dem nicht mehr vorhandenen Ziffernvorrat des Dividenden holen müssen:

Wir erhalten damit die Zahl 40, in welche die 8 genau fünfmal hineinpasst. Diese 5 schreiben wir neben unser bisheriges Ergebnis und 5×8 – also die 40 selbst – unter die bisherige Rechnung:

Schließlich folgt mal wieder die Differenzbildung zwischen den zuletzt untereinandergeschriebenen Zahlen – diesmal 40−40, also 0. Diese schreiben wir unter unsere bisherige Rechnung:

Wenn wir jetzt sehr schematisch wären, müssten wir feststellen, dass die 8 wiederum nicht in die 0 passt und eine weitere 0 neben die zuletzt errechnete 0 stellen. Dann würden wir feststellen, dass die 8 null Mal da hineinpasst, eine 0 neben unser bisheriges Ergebnis und 0×8 – also 0 – unter die bisherige Rechnung schreiben. Damit gelangen wir aber nach der obligatorischen Differenzbildung – also 0−0 und damit 0 – an genau dieselbe Situation, die wir bereits hatten, nur dass jetzt noch eine 0 mehr an unserem Ergebnis steht:

Man kann sich leicht überlegen, dass dieser Vorgang, wenn man unbedingt will, für immer fortgesetzt werden kann, so dass wir unendlich viele Nullen rechts an unser Ergebnis schreiben würden. Tatsächlich endet jede Division zweier ganzer Zahlen mit so einer Wiederholung ein und derselben Ziffer bzw. – im allgemeinen Fall – mit der Wiederholung ein und derselben Ziffernfolge. Die Mathematiker nennen diesen sich wiederholenden Teil „Periode“. Allerdings schreiben sie diese Periode nur ein einziges Mal hin, markieren sie dafür aber mit einem Strich drüber, um durch ihn kenntlich zu machen, welche Ziffernfolge zur Periode gehört:

9\div 8 = 1,125000000\ldots = 1,125\overline{0}

Besteht die Periode lediglich aus einer 0, so lässt man sie üblicherweise weg. Unsere Dezimalzahl für 9/8 lautet demnach schlicht „1,125“. So eine Dezimalzahl heißt „endlich“, weil sie – nachdem wir die Periode „0“ einfach konventionsgemäß weggelassen haben – eben nur endlich viele Stellen rechts vom Komma hat. Dass das in vielen Fällen anders ist, zeigen die folgenden Beispiele, die Ihr Euch, wenn Ihr Lust habt, gerne mal vornehmen und gemäß oben gezeigtem Schema nachvollziehen könnt, warum sie wirklich die genannten Ergebnisse haben:

\frac{20}{13} = 1,538461\,538461\,538461\,538461\,538461\ldots = 1,\overline{538461}

\frac{1301}{14} = 92,92\,857142\,857142\,857142\ldots = 92,92\overline{857142}

Dezimalzahlen wie die aus dem ersten Beispiel werden dann wirklich „periodische Zahl“ genannt, während solche wie die aus dem zweiten Beispiel, bei  denen also erst ein paar sich nicht wiederholende Ziffern vor der Periode stehen, „gemischtperiodische Zahl“ genannt werden. Aber wie gesagt: streng genommen sind alle Dezimalzahlen gemischtperiodisch, nur eben dass der nicht-periodische Anfangsteil hinterm Komma halt auch einfach die Länge „0“ haben kann (dann existiert dieser Anfangsteil also gar nicht erst und die Zahl ist damit nur „periodisch“) oder die Periode auch mal nur aus Nullen bestehen kann (dann ist die Zahl „endlich“, weil wir die Nullen dann, wie oben erläutert, einfach allesamt weglassen können).

Von der Dezimalzahl zum Bruch

Den Weg von der Dezimalzahl zum Bruch haben wir wohl eher nicht so direkt in der Schule gelernt. Komisch eigentlich, denn das reine Rechnen ist mit Brüchen viel einfacher als mit Dezimalzahlen (jaja, schon gut, das sehen einige von Euch sicher anders. Ich behaupte aber: es stimmt trotzdem).

Fangen wir also mal mit einer endlichen Dezimalzahl an, also einer solchen, die keine Periode hat (außer der Null, aber dann können wir sie ja – wie oben erläutert – einfach weglassen):

9,876

Dann schreiben wir diese Zahl doch einfach mal in den Zähler unseres gesuchten Bruches und eine 1 in den Nenner:

\frac{9,876}{1}

Wir sind uns einig, dass das immer noch dieselbe Zahl ist, oder? Ich teile meine 9,876 einfach durch 1. Das darf man ja wohl gerade noch. Nun multiplizieren wir Zähler und Nenner gleichermaßen mit „10“:

\frac{10\times 9,876}{10\times 1}

Auch das darf man, denn eigentlich entspricht das folgender Rechnung:

\frac{10}{10}\times\frac{9,876}{1}

Da 10/10 nichts anderes ist als 10 geteilt durch 10 – und damit 1 – haben wir also nicht weiter getan, als unseren Bruch mit 1 zu multiplizieren, wodurch er sich bekanntlich nicht im Wert verändert. Das ergibt aber folgenden Bruch:

\frac{98,76}{10}

Das Komma im Zähler ist also eine Position nach rechts gewandert und beim Nenner ist eine Null rechts dazugekommen. Jetzt müssen wir das Ganze noch zweimal wiederholen und gelangen schließlich zu folgendem Bruch:

\frac{9876}{1000}

Voilà. Da ist unser Bruch. Den kann man natürlich noch aus ästhetischen Gründen kürzen, aber so, wie er da steht, ist er bereits ein Bruch, der exakt denselben Wert hat wie unsere ursprüngliche Dezimalzahl.

Der kleine Unterschied

Was aber machen wir dann mit periodischen Brüchen? Im Grunde fast dasselbe. Wir schreiben die Periode genau einmal in den Zähler, eine 1 in den Nenner und multiplizieren das Ganze wieder solange mit 10/10, bis das Komma weg ist. Beispiel:

0,\overline{456}\Rightarrow\frac{456}{1000}

Das Einzige, was wir jetzt noch tun müssen, ist vom Zähler eine 1 abzuziehen:

\frac{456}{999}

Das brauchen wir, weil wir sonst keine periodische Dezimalzahl erhalten würden, wenn wir den Bruch – wie oben beschrieben – durch schriftliches Dividieren in eine Dezimalzahl zurückverwandeln wollen. Dazu schauen wir uns an, was passiert, wenn wir genau dies tun:

Man sieht also, dass man nach genau drei Nachkommastellen wieder auf die 456 stößt, mit der man die Division begonnen hat. Es sollte nicht allzu schwer erkennbar sein, dass man diesen Vorgang jetzt bis zum Sankt-Nimmerleinstag fortsetzen kann und damit unsere ursprüngliche periodische Dezimalzahl erhält.

Warum ist das aber so? Nun, betrachten wir uns mal genauer, was wir gerade gemacht haben. Wir haben den Zähler, wie bei den endlichen Dezimalzahlen mit „1000“ multipliziert – also mit einer „1“, der genauso viele Nullen folgen, wie die Anzahl der Stellen, um die wir das Komma nach rechts verschoben haben. Den Nenner hingegen haben wir nicht mit derselben Zahl multipliziert, sondern diese um eins verringert und so „999“ erhalten:

\frac{1000\times 0,456}{999\times 1}

Das entspricht also der Multiplikation von 0,456 mit 1000/999:

\frac{1000}{999}\times 0,456

Schreiben wir doch einfach mal 1000/999 als Dezimalzahl hin (wer will, kann das durch schriftliche Division machen):

\frac{1000}{999}=1,001001001001\ldots

Dass dieses Ergebnis rauskommt, liegt gerade daran, dass die 999 eben nicht nur ein einziges Mal in die 1000 reinpasst sondern noch ein ganz kleines bisschen öfter. Und dieses kleine Bisschen sorgt dafür, dass drei Stellen hinterm Komma wieder eine 1 auftaucht, denn dann hätte man beim schriftlichen Dividieren wieder genug Nullen an die zuletzt verbliebene 1 (=1000-999) geschrieben, um die 999 wieder ganz darunter schrieben zu können. Es ist nicht schwer einzusehen, dass sich dieser Vorgang dann für immer periodisch fortsetzt. Das heißt aber folgendes:

\frac{1000}{999}\times 0,456=1,001001001001\ldots\times 0,456

Unsere Periode „0,456“ kommt also einmal ganz vor (macht 0,456), dann noch ein Tausendstel davon dazu (also 0,000456) dann noch ein Millionenstel dazu (also 0,000000456) und so weiter. Es sollte nicht allzu schwer erkennbar sein, dass dann gerade unsere Ursprungszahl 0,456456456… herauskommt.

Soweit also zu den periodischen Zahlen.

Die Mischung macht’s

Und wie machen wir es mit den Gemischtperiodischen? Ganz einfach: wir zerlegen sie in eine Summe aus einer Endlichen und einer Periodischen,  rechnen dann für beide getrennt die Dezimalzahl wie oben beschrieben aus und addieren die beiden entstehenden Ergebnisse zum Schluss wieder zusammen. Beispiel:

98,76\overline{45}

Dies entspricht der Summe:

98,76+0,00\overline{45}

Für den linken, endlichen Teil, wissen wir schon, dass folgender Bruch herauskommt:

\frac{9876}{100}

Den rechten Teil „schieben“ wir zunächst durch fortgesetztes Multiplizieren mit „10/10“ an das Komma heran:

\frac{0,\overline{45}}{100}

Den Zähler wandeln wir dann in einen Bruch um, wie wir es oben für periodische Zahlen dargelegt haben:

\frac{\frac{45}{99}}{100}

Das entspricht der Rechnung

\frac{45}{99}\div 100

Durch 100 zu teilen, ist – wir erinnern uns – dasselbe, wie mit dem Kehrwert von 100 zu multiplizieren:

\frac{45}{99}\times\frac{1}{100}

Und das ist dann schließlich

\frac{45\times 1}{99\times 100}

bzw.

\frac{45}{9900}

Das Ganze addieren wir dann noch zu unserem linken Teil von oben:

\frac{9876}{100}+\frac{45}{9900}

Wir bringen also beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

\frac{9876\times 99}{100\times 99}+\frac{45}{9900}

Und erhalten

\frac{977724}{9900}+\frac{45}{9900}=\frac{977769}{9900}

Und schon haben wir unseren Ergebnisbruch: 977769/9900. Wer will, kann nachrechnen, dass wieder unsere Ausgangsdezimalzahl herauskommt, wenn man diese Zahl durch schriftliches Dividieren ausrechnet:

\frac{977769}{9900}=98,76\overline{45}

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Alles Liebe

Daniel

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