Vom Zäh­len zur Man­del­brot­men­ge – Teil 6: Prin­zip der Man­del­brot­men­ge

Hal­lo Ihr Lie­ben,

nach der ellen­lan­gen zah­len­theo­re­ti­schen Vor­re­de in Form fünf ein­zel­ner Blog­bei­trä­ge und eini­ger klei­ner Zusatz­bei­trä­ge für spe­zi­el­le Hin­ter­grund­in­for­ma­tio­nen hat uns unser Erkun­dungs­pfad zur Man­del­brot­men­ge jetzt end­lich in die Ziel­ge­ra­de geführt. Zuletzt haben wir uns ja mit der Men­ge der Kom­ple­xen Zah­len beschäf­tigt und dabei dar­auf hin­ge­wie­sen, dass es sich bei der Man­del­brot­men­ge letzt­lich um nichts ande­res als eine nach ein­deu­ti­gen Kri­te­ri­en bestimm­te Unter­men­ge eben jener Kom­ple­xen Zah­len han­delt. Und die welt­be­kann­te Visua­li­sie­rung der Man­del­brot­men­ge – ger­ne auch als „Apfel­männ­chen“ bezeich­net – ist dabei ledig­lich eine Dar­stel­lung der zur Man­del­brot­men­ge gehö­ren­den kom­ple­xen Zah­len als (meist in schlich­tem Schwarz) ein­ge­färb­te Punk­te in der kom­ple­xen Ebe­ne.

Kom­ple­xe Ebe­ne – Ihr wisst doch noch aus dem letz­ten Bei­trag, was das ist, oder? Das war das mit der reel­len und der ima­gi­nä­ren Ach­se, wo jeder kom­ple­xen Zahl ein ein­deu­ti­ger Punkt zuge­ord­net ist, des­sen Koor­di­na­ten sich aus dem reel­len und ima­gi­nä­ren Teil der Zahl bestim­men. Hier mal das Apfel­männ­chen in unse­rem Koor­di­na­ten­sys­tem namens „kom­ple­xe Ebe­ne“:

Wir sehen dort den tief­schwar­zen Bereich aller Zah­len, die zur Man­del­brot­men­ge gehö­ren. Alles, was nicht schwarz ist, gehört dann ent­spre­chend nicht mehr zur Man­del­brot­men­ge. Die ästhe­ti­sche Musik spielt aller­dings genau im Grenz­be­reich zwi­schen dem Inne­ren und dem Äuße­ren des Apfel­männ­chens. Die­ser Bereich ist buch­stäb­lich unend­lich kom­plex struk­tu­riert und ihm ent­stam­men die beson­ders fas­zi­nie­ren­den For­men und Mus­ter, für die die Man­del­brot­men­ge so berühmt gewor­den ist. Dazu aber mehr in der nächs­ten Fol­ge die­ser Bei­trags­se­rie. Wir kön­nen ja nicht alles auf ein­mal abhan­deln.

Im Moment hän­gen wir ja als ers­tes mal bei der Fra­ge, wel­che kom­ple­xen Zah­len denn nun über­haupt zur Man­del­brot­men­ge gehö­ren und wel­che nicht. Die­se Fra­ge ist – das war ja mal mein Ein­gangs­state­ment im ers­ten Bei­trag die­ser Serie – anhand einer sehr ein­fa­chen mathe­ma­ti­schen Mecha­nik zu beant­wor­ten. Aber mein dama­li­ges Ver­spre­chen umfass­te ja ins­be­son­de­re den Vor­satz, Euch For­meln zu erspa­ren und statt­des­sen mit Anschau­ung zu trump­fen. Die­sem Vor­satz bin ich zuge­ge­be­ner­ma­ßen min­des­tens mal in den bei­den letz­ten Bei­trä­gen nicht mehr ganz gerecht gewor­den. Das möch­te ich hier­mit wie­der­gut­ma­chen: um daher die Mecha­nik der Zuge­hö­rig­keits­be­stim­mung zur Man­del­brot­men­ge ganz ohne mathe­ma­ti­schen For­ma­lis­mus ver­an­schau­li­chen zu kön­nen, habe ich mir eine klei­ne Appa­ra­tur aus­ge­dacht.

Dani­el proud­ly pres­ents: den Man­del­brot-Trans­for­ma­tor.

Zah­len­wand­ler

Mein Man­del­brot-Trans­for­ma­tor ist eine ein­fa­che klei­ne Maschi­ne, die so aus­sieht:

Er hat oben einen Ein­gang, rechts einen Aus­gang und zwei Stell­he­bel – einen links und einen unten. Die bei­den Stell­he­bel hei­ßen natür­lich nicht zufäl­lig „i“ und „r“. Sie ste­hen für den ima­gi­nä­ren und reel­len Teil einer kom­ple­xen Zahl – nen­nen wir sie ein­fach „c“.

Der Trans­for­ma­tor wird jetzt wie folgt bedient: Als ers­tes wählt man die Zahl “c” vor. Sagen wir also, unser c wäre die Zahl 0,5+2×i. Dann stel­len wir jetzt als ers­tes unse­ren Stell­he­bel „r“ auf den reel­len Teil unse­rer Zahl c – also 0,5 – und unse­ren Stell­he­bel „i“ auf den ima­gi­nä­ren Teil unse­rer Zahl c – also 2. Das sieht dann unge­fähr so aus:

Ein­mal so ein­ge­stellt, kann man dann oben in den Ein­gang des Trans­for­ma­tors eine kom­ple­xe Zahl – nen­nen wir sie ein­fach mal „z“ – hin­ein­schmei­ßen und schwupp, kommt rechts aus dem Aus­gang eine kom­ple­xe Zahl wie­der raus. Die­se Aus­ga­be­zahl errech­net sich dabei wie folgt aus der in den Ein­gang geschmis­se­nen Zahl z:

  1. Im ers­ten Schritt wird z mit sich selbst mul­ti­pli­ziert
  2. Im zwei­ten Schritt wird dem Ergeb­nis die­ser Mul­ti­pli­ka­ti­on unser vor­ein­ge­stell­tes c hin­zu­ge­fügt.
  3. Die nach die­sen bei­den Rechen­schrit­ten ent­stan­de­ne Zahl wird dann Aus­gang wie­der aus­ge­spuckt. Ende

Zu unse­rem vor­ein­ge­stell­ten c und der oben ein­ge­wor­fe­nen Zahl z wird also im Trans­for­ma­tor der fol­gen­de Aus­druck berech­net und aus­ge­ge­ben:

z\times z + c

Mehr macht er nicht.

Bei­spiel: sagen wir, z wäre 2+0×i. Das ent­spricht der reel­len Zahl 2 (der ima­gi­nä­re Teil ist 0 und damit nicht exis­tent). Wir schmei­ßen die 2 jetzt oben in den Man­del­brot-Trans­for­ma­tor:

Dann berech­net er jetzt den Aus­druck

2\times 2 + c

Unser vor­ein­ge­stell­tes war dabei 0,5+2×i, so dass wir also eigent­lich das Fol­gen­de erhal­ten:

2\times 2 + 0,5+2\times i

Das wie­der­um ergibt

4 + 0,5+2\times i

bzw.

4,5+2\times i

Die­se Zahl spuckt der Trans­for­ma­tor dann wie­der aus:

Ja, OK – das waren jetzt natür­lich doch wie­der ein paar Zah­len, Plus- und Mal­zei­chen. Aber ich mei­ne, Ihr alle wer­det doch noch die Grund­re­chen­ar­ten beherr­schen, oder? Echt jetzt – das war doch nun wirk­lich pil­le­pal­le.

Kreis­lauf

Na gut, jetzt wis­sen wir, war­um der Man­del­brot-Trans­for­ma­tor “Trans­for­ma­tor” heißt: er trans­for­miert eine Ein­ga­be­zahl auf Basis der Stell­he­bel­ein­stel­lun­gen in eine Aus­ga­be­zahl. Wo aber kommt das “Man­del­brot” im Namen mei­ner Appa­ra­tur her?

Ach­tung, Leu­te: wir sind kurz davor, das Wesent­li­che zum The­ma “Man­del­brot­men­ge” ver­stan­den zu haben. Also: bit­te auf­pas­sen!

War­um also “Man­del­brot”?

Weil wir mit Hil­fe mei­nes ach so genia­len Man­del­brot-Trans­for­ma­tors ent­schei­den kön­nen, ob die (kom­ple­xe) Zahl, die man mit den Stell­he­beln vor­ge­wählt hat, zur Man­del­brot­men­ge gehört oder nicht. Und das macht man wie folgt:

  1. Man wählt zunächst – wie gewohnt – ein­ma­lig die auf Zuge­hö­rig­keit zur Man­del­brot­men­ge zu über­prü­fen­de Zahl c anhand ihres reel­len und ima­gi­nä­ren Teils mit Hil­fe der ent­spre­chen­den Stell­he­bel vor. Bei­spiel: c=1+0×i (was der reel­len Zahl 1 ent­spricht):
  2. Im zwei­ten Schritt schmeißt man stan­dard­mä­ßig die Zahl “0” in den Ein­gang des Trans­for­ma­tors. Mit einem biss­chen Nach­den­ken soll­ten wir erken­nen, dass dann c selbst aus dem Aus­gang aus­ge­spuckt wird, denn 0 mit sich selbst mul­ti­pli­ziert gibt wie­der 0 und 0+c ist c. Da in unse­rem Bei­spiel c=1 sein soll kommt also eine 1 rechts raus, wenn wir die 0 oben rein­wer­fen:
  3. Ab jetzt macht man fol­gen­des: man nimmt immer die Zahl, die zuletzt am Aus­gang aus­ge­spuckt wur­de und schmeißt sie gera­de wie­der in den Ein­gang rein, so dass eine nächs­te Zahl gemäß der Funk­ti­ons­wei­se des Trans­for­ma­tors aus­ge­spuckt wird. Für unser aktu­el­les Bei­spiel mit c=1 wür­de das also dazu füh­ren, dass wir die eben errech­ne­te 1 wie­der oben ein­wer­fen. Wir erhal­ten dann am Aus­gang die Zahl 1×1+c und damit (wegen c=1) 1×1+1, was 1+1 und somit 2 ergibt. Die­sen Schritt wie­der­holt man dann wie­der mit der eben errech­ne­ten Zahl (hier die 2) und so wei­ter und so fort:

Für unser Bei­spiel mit c=1 sehen dann die ers­ten sie­ben Zah­len, die nach­ein­an­der aus unse­rem auf c ein­ge­stell­ten Trans­for­ma­tor aus­ge­spuckt wer­den, so aus:

  • 1
  • 2
  • 5
  • 26
  • 677
  • 458.330
  • 210.066.388.901

Man sieht also, dass die Zah­len mit jedem Durch­lauf wach­sen – und zwar schon nach kur­zer Zeit – hier far­big her­vor­ge­ho­ben – ziem­lich dras­tisch.

Ist das für jede Zahl c immer so?

Um das her­aus­zu­fin­den, stel­len wir den Trans­for­ma­tor als nächs­tes doch ein­fach mal auf c=-1+0×i (was der reel­len Zahl ‑1 ent­spricht) ein und las­sen ihn los­lau­fen:Nach­dem man im ers­ten Durch­lauf die 0 rein­ge­schmis­sen hat, kommt wegen 0×0+(-1) = 0–1 = ‑1 eine ‑1 raus. Schmeißt man die­se ‑1 dann für den nächs­ten Durch­lauf wie­der oben rein, erhält man wegen (-1)×(-1)+(-1) = 1–1 = 0 gera­de wie­der eine 0 (wer nicht mehr weiß, war­um “minus mal minus ist plus” gilt, der kann das ger­ne in mei­nem Bei­trag zu den Gan­zen Zah­len nach­le­sen). Dann ist aber klar, dass im nächs­ten Durch­lauf wie­der eine ‑1 her­aus­kommt, und so geht es für immer wei­ter: ‑1, 0, ‑1, 0, ‑1, 0,…

Im kras­sen Gegen­satz zu unse­rer Aus­ga­be­fol­ge für c=1, die sehr schnell über alle Gren­zen hin­aus­wächst, bewegt sich unse­re Aus­ga­be­fol­ge für c=-1 immer nur zwi­schen 0 und ‑1.

Und es sind eben die­se bei­den Bei­spie­le, die uns den ent­schei­den­den Unter­schied zwi­schen jenen Zah­len zei­gen, die zur Man­del­brot­men­ge gehö­ren und jenen, die es nicht tun. Unser ers­tes Bei­spiel mit c=1, bei dem der Trans­for­ma­tor also eine Fol­ge von Zah­len pro­du­ziert, die über alle Maßen hin­aus­wach­sen, zeigt einen Fall, bei dem das vor­ge­wähl­te c genau wegen die­ses Tat­be­stands nicht zur Man­del­brot­men­ge gehört. Unser zwei­tes Bei­spiel mit c=-1, bei dem der Trans­for­ma­tor eine Fol­ge von Zah­len pro­du­ziert, die nie über gewis­se Gren­zen hin­aus­wach­sen, zeigt einen Fall, in dem die vor­ge­wähl­te Zahl c genau aus die­sem Grun­de zur Man­del­brot­men­ge gehört.

Damit ist eigent­lich auch schon alles gesagt, was man wis­sen muss, um zu ent­schei­den, ob eine kom­ple­xe Zahl c zur Man­del­brot­men­ge gehört oder nicht: Wir stel­len unse­ren Trans­for­ma­tor auf das zu tes­ten­de c ein und las­sen ihn wie oben beschrie­ben mit 0 begin­nend los­lau­fen. Blei­ben die Zah­len der ent­ste­hen­den Aus­ga­be­fol­ge inner­halb fes­ter Gren­zen, wird die Zahl ehren­voll in die Man­del­brot­men­ge mit auf­ge­nom­men. Wach­sen die Zah­len der Aus­ga­be­fol­ge hin­ge­gen über alle Gren­zen hin­aus, muss die Zahl lei­der aus der Man­del­brot­men­ge drau­ßen blei­ben.

Das ist schon alles!

Gutes Betra­gen

Naja, ein paar Details gibt es da schon noch. Als ers­tes müs­sen wir mal berück­sich­ti­gen, dass wir es ja immer­hin mit kom­ple­xen Zah­len zu tun haben. Die in den obi­gen Bei­spie­len ver­wen­de­ten reel­len Zah­len dien­ten nur der didak­ti­schen Ver­ein­fa­chung.

Wie wir im letz­ten Bei­trag der hie­si­gen Bei­trags­se­rie aus­ge­führt hat­ten, sind die Kom­ple­xen Zah­len im Gegen­satz zu den Reel­len Zah­len nicht geord­net. Das heißt, man kann im All­ge­mei­nen von zwei gege­be­nen unglei­chen kom­ple­xen Zah­len nicht sagen, wel­che von bei­den die Grö­ße­re ist. Das ist aber irgend­wie blöd, denn um über die Mit­glied­schaft einer belie­bi­gen kom­ple­xen Zahl in der Man­del­brot­men­ge ent­schei­den zu kön­nen, muss man ja gera­de prü­fen, ob die vom Trans­for­ma­tor zur gewähl­ten Zahl aus­ge­ge­be­ne Fol­ge kom­ple­xer Zah­len immer grö­ße­re Zah­len lie­fert oder nicht. Wenn man aber nicht sagen kann, ob die eine Zahl grö­ßer ist als die ande­re, wie will man dann fest­stel­len kön­nen, ob die Zah­len in der Aus­ga­be­fol­ge unse­res Trans­for­ma­tors immer grö­ßer wer­den oder nicht?

Die Lösung: man ver­gleicht nicht die eigent­li­chen Zah­len, die hin­ter­ein­an­der aus dem Trans­for­ma­tor aus­ge­ge­ben wer­den, son­dern deren Beträ­ge.

Beträ­ge? Da war doch irgend­was…

Hey, es ist gera­de mal einen Bei­trag her – näm­lich den zu den kom­ple­xen Zah­len – da haben wir das The­ma recht aus­führ­lich dis­ku­tiert. Das mit Pytha­go­ras und so. Aber zur Gedächt­nis­auf­fri­schung wie­der­ho­le ich das natür­lich sehr ger­ne noch­mals kurz an die­ser Stel­le:

Der Betrag einer kom­ple­xen Zahl ist die Län­ge der Stre­cke zwi­schen dem Ursprung (der Punkt, an dem sich die bei­den Ach­sen kreu­zen) und dem Punkt in der kom­ple­xen Ebe­ne, wel­cher der betrach­te­ten Zahl ent­spricht:

Wir sehen hier oben rechts bei­spiels­wei­se den Punkt, wel­cher der Zahl 4+3×i ent­spricht (also vom Ursprung aus 4 nach rechts und 3 nach oben). Die Län­ge der Stre­cke vom Ursprung bis zu die­sem Punkt ist nach Pytha­go­ras 5. Das­sel­be gilt für den Punkt unten links, wel­cher der Zahl -4-3×i ent­spricht (also vom Ursprung aus 4 nach links und 3 nach unten).

Die Län­ge einer Stre­cke vom Ursprung aus gemes­sen ist also immer eine posi­ti­ve reel­le Zahl (oder Null) – ganz egal, ob der reel­le oder der ima­gi­nä­re Anteil der betrach­te­ten kom­ple­xen Zahl posi­tiv oder nega­tiv ist. Man misst ja ein­fach nur die Ent­fer­nung von A nach B (also vom Ursprung bis zur betrach­te­ten Zahl). Man kann daher pro­blem­los beur­tei­len, ob die Beträ­ge der Zah­len­fol­gen, wie sie aus unse­rem Tra­fo aus­ge­ge­ben wer­den, immer wei­ter wach­sen oder nicht.

Pro­blem gelöst.

Gren­ze zur Gren­zen­lo­sig­keit

Das zwei­te Pro­blem ist, dass es manch­mal ganz schön lan­ge dau­ert, bis man ent­schei­den kann, ob die Zah­len­fol­ge, die der Mandle­brot-Trans­for­ma­tor zu einer vor­ge­ge­be­nen Zahl c aus­spuckt, inner­halb bestimm­ter Gren­zen bleibt, oder nicht. Schau­en wir uns dazu ein paar Bei­spie­le an:

In die­sem Dia­gramm steht unten die Anzahl der Trans­for­ma­tor-Durch­läu­fe (die Mathe­ma­ti­ker nen­nen sie „Ite­ra­tio­nen“) und links die Grö­ße des Betrags, der dabei her­aus­kommt. Die graue Linie ent­spricht der Vor­ein­stel­lung c=0,28, die oran­ge­brau­ne Linie ent­spricht c=0,26 und die blaue c=0,251. Man sieht also, dass man in man­chen Fäl­len unter zwan­zig Durchläufe/Iterationen braucht, um zu sehen, dass die Aus­ga­be­fol­ge ins Unend­li­che wächst, manch­mal braucht es etwas über 30 und manch­mal über 90.

Die bedrü­cken­de Wahr­heit ist, dass es Zah­len gibt, bei denen man auch nach 1.000 oder 1.000.000 Durchläufen/Iterationen noch nicht an dem Punkt ange­langt ist, an dem klar erkenn­bar ist, ob die Zah­len­fol­ge zur gege­be­nen Zahl ins Unend­li­che abdrif­tet oder nicht. Will man die Man­del­brot­men­ge in Form des Apfel­männ­chens dar­stel­len, so muss man daher die Zuge­hö­rig­keits­tests per Man­del­brot-Trans­for­ma­tor im All­ge­mei­nen ab einer gewis­sen Anzahl der Ite­ra­tio­nen abbre­chen, denn sonst rech­net man sich ja schon für einen ein­zi­gen Punkt zu Tode. Und genau so macht man es auch in der Pra­xis: man legt die maxi­ma­le Anzahl an Ite­ra­tio­nen von vor­ne­her­ein fest. Wenn man die­se Anzahl erreicht hat und immer noch nicht erkenn­bar ist, dass die Zah­len­fol­ge ins Unend­li­che abdrif­tet, dann betrach­tet man die jeweils unter­such­te Zahl c ein­fach als Mit­glied der Man­del­brot­men­ge. Das kann zwar puris­tisch betrach­tet eine fal­sche Ent­schei­dung sein. Aber auf die­se Wei­se kommt man wenigs­tens zu annä­hernd prä­zi­sen Dar­stel­lun­gen der Men­ge – und zwar zu sol­chen, die nach einer end­li­chen Berech­nungs­zeit sicht­bar wer­den. Was hät­te man denn auch von einer exak­ten Dar­stel­lung, wenn sie erst in 1.000 Jah­ren fer­tig berech­net wür­de?

Ein Fall für Zwei

Kann man eigent­lich ab einer bestimm­ten Betrags­grö­ße der Zah­len in den Aus­ga­be­fol­gen unse­res Trans­for­ma­tors sicher davon aus­ge­hen, dass die Zah­len­fol­ge ins Unend­li­che abdrif­ten wird? Die­se Fra­ge ist schon des­halb inter­es­sant, weil unser Man­del­brot-Trans­for­ma­tor für so man­ches vor­ge­wähl­te c ziem­lich wil­de Zah­len­fol­gen aus­spuckt, wie man hier am Bei­spiel c=-1,9 gut erken­nen kann:

Zwar blei­ben die hier dar­ge­stell­ten ers­ten 100 Zah­len der Aus­ga­be­fol­ge alle­samt betrags­mä­ßig klei­ner als 2, aber ein ech­ter Trend ist so ohne Wei­te­res nicht zu erken­nen.

Dass die Beträ­ge im eben gezeig­ten Bei­spiel nie­mals grö­ßer wer­den als 2, ist übri­gens kein Zufall. Man kann tat­säch­lich zei­gen, dass der Betrag einer jeden kom­ple­xen Zahl, die Ele­ment der Man­del­brot­men­ge sein soll, nie­mals grö­ßer als 2 sein kann. Ein kur­zer Blick auf die Visua­li­sie­rung der Man­del­brot­men­ge bestä­tigt denn auch, dass sie voll­stän­dig inner­halb des Krei­ses mit dem Radi­us 2 um den Ursprung liegt:

War­um das so ist? Naja, schau­en wir uns noch­mals das Inne­re des Man­del­brot-Trans­for­ma­tors an. Dort wird ja für jedes oben ein­ge­wor­fe­ne z bei vor­ge­ge­be­nem c fol­gen­der Aus­druck berech­net:

z\times z + c

Da man immer zuerst mit z=0 beginnt, erhält man – wie oben fest­ge­stellt – im ers­ten Trans­for­ma­tor-Durch­lauf immer c selbst als Ergeb­nis, denn 0×0+c ist offen­bar c. Wenn man jetzt für den nächs­ten Durch­lauf daher das c selbst in den Ein­gang wirft, ent­steht also das Ergeb­nis c×c+c.

Um das Ergeb­nis mög­lichst klein zu hal­ten, muss c im güns­tigs­ten Fall eine nega­ti­ve Zahl sein, denn dann wird sie wenigs­tens dau­ernd von z×z abge­zo­gen, was schon mal hilft, ten­den­zi­ell klei­ne­re Zah­len in unse­rer Zah­len­fol­ge zu erhal­ten. Dann wür­de in unse­rem oben wie­der­hol­ten Schritt so etwas ste­hen wie

(-c)\times (-c) - c

Mul­ti­pli­ziert man eine nega­ti­ve Zahl mit sich selbst, ent­steht eine posi­ti­ve Zahl. Das ent­sprä­che dann aber fol­gen­der Rech­nung:

c\times c - c

Man zieht also c vom c-Fachen sei­ner selbst ab. Wäre c grö­ßer als 2 – sagen wir 3 – dann wür­de man c vom 3‑Fachen sei­ner selbst abzie­hen, so dass immer noch das Zwei­fa­che davon übrig blie­be. Damit ent­stün­de im nächs­ten Schritt eine Zahl, die dop­pelt so groß ist wie im vori­gen Schritt. Die­se Ent­wick­lung kann man also nur ver­hin­dern, wenn c maxi­mal 2 ist, denn dann zieht man c vom Dop­pel­ten sei­ner selbst ab und erhält damit wie­der nur ein c (mein alter Mathe­leh­rer hät­te jetzt gesagt “man erhält damit wie­der nur einen Zeh” und hät­te sich – als Ein­zi­ger im Unter­richt – dar­über krank gelacht). Für posi­ti­ve c ist 2 übri­gens schon viel zu groß, wie man an obi­gem Bild sehen kann.

Ja klar, mei­ne eben ange­stell­ten Über­le­gun­gen haben aus didak­ti­schen Grün­den so getan, als gäbe es wirk­lich nega­ti­ve oder posi­ti­ve kom­ple­xe Zah­len. Das ist in der Tat nur für rein reel­le oder rein ima­gi­nä­re Zah­len der Fall. Aber die Grund­über­le­gung stimmt trotz­dem: wenn sich der Betrag der in den Trans­for­ma­tor geschmis­se­nen Zahl mehr als ver­dop­pelt, kann nie­mals wie­der genug davon abge­zo­gen wer­den, um das Wachs­tum der Aus­ga­be­fol­ge auf­zu­hal­ten.

Ins­ge­samt gilt daher, dass eine kom­ple­xe Zahl, deren Betrag grö­ßer ist als 2, kein Ele­ment der Man­del­brot­men­ge sein kann. Daher kann man unse­ren Trans­for­ma­tor anhal­ten, wenn zum ers­ten Mal eine Zahl mit einem Betrag grö­ßer als 2 in den Ein­gang ein­ge­wor­fen wer­den soll, denn ab die­sem Moment wür­de unser Trans­for­ma­tor frü­her oder spä­ter eine Zah­len­fol­ge aus­spu­cken, die ins Unend­li­che abdrif­tet.

Kurz: “Tra­fo lie­fert mehr als Zwei? c ist lei­der nicht dabei!”

Zusam­men­ge­fasst

Nach all dem eben gesag­ten, ist die Man­del­brot­men­ge nach fol­gen­dem Koch­re­zept bestimmt:

  • Man neh­me eine kom­ple­xe Zahl c, für die man ent­schei­den will, ob sie zur Man­del­brot­men­ge gehört oder nicht
  • Man stel­le c an den Schie­be­reg­lern des Man­del­brot-Trans­for­ma­tor ein
  • Man las­se den so vor­ein­ge­stell­ten Trans­for­ma­tor mit einer Null begin­nend los­lau­fen und neh­me ab dann immer die zuletzt rechts aus­ge­ge­be­ne Zahl als neue Ein­ga­be­zahl für oben
  • Es ent­steht so eine poten­zi­ell unend­li­che Fol­ge von Aus­ga­be­zah­len. Kommt dar­in jemals eine Zahl vor, die grö­ßer als Zwei ist, gehört c nicht zur Man­del­brot­men­ge. Andern­falls gehört c zur Man­del­brot­men­ge.
  • In der Pra­xis muss man den Trans­for­ma­tor nach einer vor­ab fest­zu­le­gen­den Zahl an Durch­läu­fen (Ite­ra­tio­nen) gewalt­sam anhal­ten, wenn bis dahin nicht schon die Über­schrei­tung der 2 fest­ge­stellt wer­den kann, denn sonst rech­net man für jeden ein­zel­nen Zuge­hö­rig­keits­test unter Umstän­den seeeeehr lan­ge. Die zu tes­ten­de Zahl c ist dabei im Fal­le eines sol­chen Gewalt­ab­bruchs als Mit­glied der Man­del­brot­men­ge wer­ten.

Um das Gan­ze noch ein wenig anspre­chen­der zu ver­an­schau­li­chen, habe ich hier mal das kom­plet­te Koch­re­zept für die kom­ple­xe Zahl -1+0,25×i in Form einer Ani­ma­ti­on durch­ge­spielt. Man sieht dort, zunächst, wo die­se Zahl in der Kom­ple­xen Ebe­ne liegt. Dann sieht man, wie der Man­del­brot-Trans­for­ma­tor auf die­se Zahl vor­ein­ge­stellt wird, bevor er mit einer Null am Ein­gang gestar­tet wird. Anschlie­ßend sieht man den Trans­for­ma­tor lau­fen und nach­ein­an­der sei­ne Zah­len aus­ge­ben. Die Beträ­ge der ers­ten hun­dert davon sind dann in einer Gra­fik zu sehen, anhand derer man gut erken­nen kann, dass die Zah­len­fol­ge stets unter­halb der Zwei blei­ben wird, wes­we­gen -1+0,25×i  auch tat­säch­lich zur Man­del­brot­men­ge gehört:

Jetzt, wo wir wis­sen, wie man für eine belie­bi­ge kom­ple­xe Zahl berech­nen kann, ob sie Ele­ment der Man­del­brot­men­ge ist oder nicht, kön­nen wir uns als nächs­tes der Fra­ge wid­men, wie man zu den unglaub­lich for­men- und far­ben­rei­chen Bil­dern kommt, die in dem Video aus dem ers­ten Bei­trag die­ser Serie zu sehen waren. Davon wird der nächs­te Bei­trag han­deln.

Alles Lie­be

Dani­el

 

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