Bruch­rech­nung auf­ge­frischt

Hal­lo Ihr Lie­ben,

im Rah­men mei­ner klei­nen Bei­trags­se­rie zum The­ma “Vom Zäh­len zur Man­del­brot­men­ge” habe ich im Zusam­men­hang mit der Vor­stel­lung der Ratio­na­len Zah­len voll­mun­dig behaup­tet, man kön­ne die Prin­zi­pi­en der Bruch­rech­nung ziem­lich anschau­lich dar­le­gen und inso­weit auch den Mathe­ma­ti­ka­ver­sen unter Euch nahe brin­gen. Mit die­sem Bei­trag möch­te ich den Ver­such unter­neh­men, genau dies zu tun.

Mul­ti­pli­ka­ti­on

Fan­gen wir dazu mit der Mul­ti­pli­ka­ti­on zwei­er Brü­che an. Wir erin­nern uns dar­an, dass man Brü­che mul­ti­pli­ziert, indem man oben die bei­den Zäh­ler mul­ti­pli­ziert, unten die bei­den Nen­ner mul­ti­pli­ziert und dann die jewei­li­gen Ergeb­nis­se in den Zäh­ler bzw. Nen­ner des Ergeb­nis­bruchs schreibt. Aber war­um ist das eigent­lich so?

Betrach­ten wir dazu ein Bei­spiel:

\frac{3}{2}\times\frac{4}{5}

Da ein Bruch der Form 3/2 oder eben auch 4/5 der Rechen­auf­ga­be 3÷2 bzw. 4÷5  ent­spricht, kann man das obi­ge Bei­spiel auch so schrei­ben:

(3\div 2)\times 4\div 5

Wir erin­nern uns: was in Klam­mern steht, wird immer zuerst aus­ge­rech­net, bevor außer­halb der Klam­mer wei­ter­ge­rech­net wird. Im obi­gen Fall soll damit aus­ge­drückt wer­den, dass die 3 nicht etwa durch 2×4 – also durch 8 – son­dern wirk­lich erst durch 2 geteilt wer­den soll, bevor das Ergeb­nis anschlie­ßend mit 4 mul­ti­pli­ziert wer­den und zu guter Letzt das alles wie­der durch 5 geteilt wer­den soll.

Ist es aber eigent­lich ein Unter­schied, ob ich die 3 zuerst durch 2 tei­le und das Ergeb­nis dann mit 4 mul­ti­pli­zie­re oder die 3 erst mit 4 mul­ti­pli­zie­re und das Ergeb­nis dann durch 2 tei­le? Nein, ist es nicht. Es kommt in bei­den Fäl­len das­sel­be her­aus. Um das zu glau­ben, schau­en wir uns zunächst an, was pas­siert, wenn man drei Kuchen erst hal­biert und die drei Hälf­ten dann ver­vier­facht:

Wie man sieht, erhält man am Ende zwölf Kuchen­hälf­ten oder eben sechs gan­ze Kuchen. Jetzt machen wir es zur Pro­be umge­kehrt: wir ver­vier­fa­chen zuerst unse­re drei Kuchen und hal­bie­ren all die­se vie­len Kuchen anschlie­ßend:

Wie­der­um erhal­ten wir am Ende zwölf Kuchen­hälf­ten oder sechs gan­ze Kuchen. Wir kön­nen unse­re obi­ge Rech­nung daher auch so schrei­ben:

((3\times 4)\div 2)\div 5

Wir mul­ti­pli­zie­ren die 3 also erst mit der 4 und tei­len dann durch 2 anstatt umge­kehrt – wis­send, dass Das­sel­be her­aus­kommt wie vor­her. Jetzt haben wir also schon mal ver­stan­den, war­um wir die Zäh­ler mul­ti­pli­zie­ren.

Und war­um mul­ti­pli­zie­ren wir dann die Nen­ner? Naja, so wie wir es zuletzt geschrie­ben haben, tei­len wir den neu­en Zäh­ler erst durch 2 und das Ergeb­nis dann durch 5. Aber dann hät­ten wir es doch auch genau­so gut gleich durch 2×5 – also durch 10 – tei­len kön­nen:

Unse­re Rech­nung lässt sich daher also auch so schrei­ben:

(3\times 4)\div (2\times 5)

Wir tei­len jetzt also den neu­en Zäh­ler durch das Pro­dukt der bei­den alten Nen­ner. Schreibt man das als Bruch, so steht genau das da, was als Ergeb­nis der Mul­ti­pli­ka­ti­on zwei­er Brü­che hät­te raus­kom­men sol­len:

\frac{3}{2}\times\frac{4}{5} = \frac{3\times 4}{2\times 5}

So weit, so gut.

Addi­ti­on

In der Schu­le haben wir gelernt, dass man zwei Brü­che zunächst auf einen gemein­sa­men Nen­ner brin­gen muss, bevor man sie addie­ren kann. Aber was bedeu­tet es eigent­lich genau, zwei Brü­che auf einen gemein­sa­men Nen­ner zu brin­gen? Naja, ganz ehr­lich: wie soll man denn auch zwei Drit­tel und drei Vier­tel addie­ren?

Irgend­wie ist das doch so, als woll­te man Äpfel und Bir­nen addie­ren.

Die Lösung: man drückt bei­des als “Äpfel­bir­nen” aus. Das heißt in unse­rem Bei­spiel, dass man jedes der bei­den Drit­tel vier­telt (und damit acht Drit­tel­vier­tel bzw. Zwölf­tel erzeugt) und jedes der drei Vier­tel drit­telt (macht neun Vier­tel­drit­tel bzw. Zwölf­tel):So erhält man dann acht plus neun Zwölf­tel, also sieb­zehn Zwölf­tel:Wir haben also im Wesent­li­chen dafür gesorgt, dass wir nicht Äpfel und Bir­nen addie­ren, son­dern haben statt­des­sen die Äpfel zunächst hin­rei­chend bir­nig und die Bir­nen hin­rei­chend äpfe­lig gemacht. Mit ande­ren Wor­ten: wir haben einen Nen­ner gesucht, den man sowohl ganz­zah­lig drit­teln als auch ganz­zah­lig vier­teln kann (soll hei­ßen, er muss ein Viel­fa­ches von 3 und gleich­zei­tig ein Viel­fa­ches von 4 sein). Das geschieht am ein­fachs­ten, in dem wir 3 mit 4 mul­ti­pli­zie­ren – macht 12.

Wenn wir dann bei­de Brü­che in Zwölf­tel aus­drü­cken wol­len, wer­den aus den zwei Drit­teln eben gera­de acht und aus den drei Vier­teln eben gera­de neun Zwölf­tel (in jedem der bei­den Drit­tel ste­cken je vier und in jedem der drei Vier­tel je drei Zwölf­tel). Man mul­ti­pli­ziert also die Zäh­ler mit genau der­sel­ben Zahl, mit der man die jewei­li­gen Nen­ner mul­ti­pli­zie­ren muss­te, um aus ihnen eine Zwölf zu machen. Und wie man Brü­che mul­ti­pli­ziert, haben wir ja oben bereits ver­stan­den. So ein­fach ist das also mit dem Addie­ren von Brü­chen.

Sub­tra­hie­ren

Das Sub­tra­hie­ren muss eigent­lich nicht geson­dert erläu­tert wer­den. Wir brin­gen auch für das Sub­tra­hie­ren zunächst bei­de Brü­che wie oben erläu­tert auf einen gemein­sa­men Nen­ner und zie­hen dann die Zäh­ler von­ein­an­der ab. Bei­spiel:

\frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{3\times 3}{4\times 3} - \frac{2\times 4}{3\times 4} = \frac{9}{12} - \frac{8}{12} = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12}

Divi­die­ren

Eini­ge von Euch wer­den sich erin­nern, dass man Brü­che divi­diert, indem man den Divi­dend mit dem Kehr­wert des Divi­sors mul­ti­pli­ziert. Zur Erin­ne­rung: der Kehr­wert ist der Bruch, der ent­steht, wenn man Zäh­ler und Nen­ner ver­tauscht, also oben hin­schreibt, was eben noch unten war, und umge­kehrt. Aber war­um mul­ti­pli­ziert man eigent­lich mit dem Kehr­wert? Betrach­ten wir ein Bei­spiel:

\frac{4}{3}\div\frac{3}{2}

Der Bruch 3/2 steht ja für 3 geteilt durch 2. Das ent­spricht jedoch drei hal­ben Stü­cken also 3×1/2:

Damit könn­ten wir das obi­ge Bei­spiel aber auch so schrei­ben:

\frac{4}{3}\div (3\times \frac{1}{2})

Es ist also schon ziem­lich offen­sicht­lich, dass wir den lin­ken Bruch zunächst ein­mal durch 3 und dann noch­mals durch 1/2 tei­len müs­sen. Genau die­sel­be Über­le­gung – nur in umge­kehr­ter Rei­hen­fol­ge – haben wir oben bei der Mul­ti­pli­ka­ti­on ange­stellt: ob man erst durch 2 und dann durch 5 oder gleich durch 2 mal 5 teilt, ist egal. Hier müss­ten wir halt sagen: ob man durch 3 mal 1/2 oder erst durch 3 dann durch 1/2 teilt, ist egal. Wir kön­nen daher unser obi­ges Bei­spiel jetzt auch so schrei­ben:

(\frac{4}{3}\div 3)\div \frac{1}{2}

Bleibt jetzt also zu klä­ren, was genau es bedeu­ten soll durch 1/2 zu tei­len. Den­ken wir dazu noch­mals kurz dar­über nach, was es bedeu­ten soll, etwas durch 2 zu tei­len. Wenn wir z.B. 1÷2 aus­rech­nen wol­len, dann wol­len wir wis­sen, wie oft die 2 in die 1 hin­ein­passt. Die Ant­wort dar­auf ist “ein hal­bes Mal”. Eine ande­re Les­art für 1÷2 wäre “wie groß wer­den die Stü­cke, wenn ich einen Kuchen gleich­mä­ßig auf zwei Per­so­nen auf­tei­le?”:

Wenn wir aber die 1 durch 1/2 tei­len, dann fra­gen wir dem­entspre­chend, wie oft  1/2 in 1 hin­ein­passt. Die Ant­wort dar­auf ist “zwei­mal”. Die Ana­lo­gie zu unse­rem obi­gen Kuchen­bei­spiel wäre in die­sem Fall die Fra­ge “wie vie­le Per­so­nen kann man mit Kuchen­hälf­ten ver­sor­gen, wenn man einen gan­zen Kuchen hat?”:

Durch 1/2 zu tei­len bedeu­tet also mit 2 zu mul­ti­pli­zie­ren – genau­so wie durch 2 zu tei­len bedeu­tet, mit 1/2 zu mul­ti­pli­zie­ren (also zu hal­bie­ren). Damit kön­nen wir unser obi­ges Bei­spiel jetzt auch so schrei­ben:

(\frac{4}{3}\div 3)\times 2

Wir tei­len also unse­re 4/3 erst durch 3 und mul­ti­pli­zie­ren das Gan­ze dann mit 2. Wie bereits mehr­fach fest­ge­stellt, könn­ten wir aber die 4/3 genau­so gut erst mit 2 mul­ti­pli­zie­ren und das Gan­ze dann durch 3 tei­len:

\frac{4}{3}\times 2\div 3

Wenn wir jetzt noch 2÷3 durch 2/3 erset­zen, erhal­ten wir genau die gewünsch­te Mul­ti­pli­ka­ti­on mit dem Kehr­wert von 3/2:

\frac{4}{3}\times \frac{2}{3}

Alles klar? Ich fand das wirk­lich anschau­lich. Ich hof­fe, Ihr auch…

Alles Lie­be

Dani­el

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