Vom Zählen zur Mandelbrotmenge – Teil 3: Rationale Zahlen

Hallo Ihr Lieben,

im letzten Teil dieser Beitragsserie sind wir auf unserem Erkundungpfad zur Mandelbrotmenge nach den Natürlichen Zahlen schließlich zu den Ganzen Zahlen gelangt. Wir haben gesehen, dass die Einführung von negativen Zahlen – gleichwohl sie ziemlich unintuitiv sind – unser Problem gelöst hat, dass die Subtraktion zweier Zahlen ansonsten Ergebnisse produzieren würde, die außerhalb unserer bekannten Zahlenwelt liegen. Wir haben auch gesehen, dass man nicht unbedingt verstehen muss (und es wohl auch nicht kann), was genau die negativen Zahlen in philophischem Sinne darstellen sollen. Solange sie so definiert sind, dass Addition und Subtraktion so funktionieren, wie wir es haben wollten, kann man ganz entspannt damit rechnen, auch ohne dass sie eine unmittelbare Entsprechung in unserer realen Erlebniswelt haben.

„Alter, wenn das nix mit unserem echten Leben zu tun hat, warum stresst Du uns dann damit?“

Ja, ich weiß: genau das haben die Mathematikaversen unter Euch immer so am Matheunterricht gehasst: sich mit irgendwelchen realitätsfremden Gedankenkonstruktionen abgeben zu müssen, die (vermeintlich) kein Mensch braucht. Aber wie bereits in Teil 2 erwähnt: spätestens bei den durchaus realitätsnahen Kontoauszügen braucht man dann doch die negativen Zahlen und sie lassen sich in diesem Zusammenhang sogar ziemlich intuitiv begreifen.

Apropos intuitiv begreifen: wir waren ja im letzten Teil bei dem Problem stehen geblieben, dass die Division zweier ganzer Zahlen im krassen Gegensatz zu Addition, Subtraktion und Multiplikation in der Tat Ergebnisse liefern kann, die selbst nicht in den Ganzen Zahlen liegen. Auch das kann man sich übrigens ziemlich intuitiv vorstellen. Nehmen wir dazu an, vier Leute wollen fünf Kuchen gleichmäßig unter sich aufteilen:Dann sollte auch ohne große akademische Vorreden klar sein, dass es keine ganzzahlige Aufteilung der Kuchen gibt: nimmt jeder der Vier nur einen Kuchen mit, bleibt einer der fünf Kuchen übrig, so dass wir schon mal nicht – wie verlangt – fünf Kuchen gleichmäßig verteilt haben. Nimmt hingegen einer der Vier dann auch noch zusätzlich zu seinem bereits abgestaubten Kuchen den fünften Kuchen mit, haben wir die Kuchen nicht gleichmäßig verteilt (einer hätte dann zwei, die anderen Drei aber jeweils nur einen Kuchen). Es liegt auf der Hand, dass Probleme dieser Art durchaus in unserem Alltagsleben vorkommen und insofern ziemlich intuitiv sind. Sei es beim Ermitteln von Stückpreisen aus einem gegebenen Gesamtpreis, sei es bei der Bestimmung von Durchschnittsnoten nach  der Rückgabe von Klassenarbeiten oder sei es bei der gerechten Verteilung von Hilfsgütern: das Aufteilen einer Gesamtheit in gleichgroße Bruchstücke ihrer selbst ist fester Bestandteil unseres täglichen Lebens. Gut also, dass die Lösung unseres Problems kaum weniger alltäglich und intuitiv ist: wir teilen einfach zunächst jeden Kuchen in vier Stücke:

Dann nimmt sich jeder der vier Personen von jedem der fünf Kuchen ein solches Viertelstück mit – Aufgabe gelöst!

Das einzige kleine Problem, das noch verbleibt, ist der Umstand, dass keiner von den Vieren eine ganzzahlige Anzahl von Kuchen mitgenommen hat. Stattdessen hat jeder fünf Kuchenviertel – oder besser – fünf Viertel eines Kuchens bzw. 5⁄4 Kuchen abbekommen.

Brechen

Ja, pun intended. So mancher von Euch, der jetzt beim Anblick eines Zahlenbruchs spontan eine unappetitlichere Assoziation mit dem Wort „brechen“ hatte, wird gerade an die verhassten Mathestunden aus der Sekundarstufe gedacht haben. Aber Ihr müsst doch zugeben: wenn man sich die Kuchen oben (also im Zähler) und die Personen unten (also im Nenner) vorstellt haben wir bereits das ganze Konzept der Brüche zusammen:Ein Bruch besteht also aus einer ganzen Zahl oben im Zähler und einer weiteren ganzen Zahl (außer Null – dazu später mehr) unten im Nenner und beschreibt das, was entsteht, wenn man jede Einheit im Zähler zunächst in die durch den Nenner bestimmte Anzahl an gleichgroßen Bruchstücken zerlegt und anschließend aus jeder Einheit im Zähler genau ein solches Bruchstück entnimmt. Die Bedeutung von Vorzeichen im Zähler entspricht derjenigen, wie wir sie in Teil 2 dieser Beitragsserie für ganze Zahlen kennengelernt haben: negative Zähler stehen für fehlende Einheiten, positive Zähler für vorhandene Einheiten.

Schwieriger wird es, sich einen negativen Nenner anschaulich zu erklären. Dazu erinnern wir uns an die Bedeutung der Division, wie wir sie in Teil 2 eingeführt haben: „Fünf geteilt durch Vier“ ist die Zahl, mit der man Vier multiplizieren muss um Fünf zu erhalten. „Fünf geteilt durch minus Vier“ ist dann die Zahl mit der man Vier fehlende Einheiten multiplizieren muss, um Fünf vorhandene Einheiten zu erhalten. Das kann nur gelingen, wenn man die fehlenden Einheiten mehrfach entfernt, anstatt sie mehrfach hinzuzufügen, denn das Entfernen fehlender Einheiten entspricht dem Hinzufügen vorhandener Einheiten. Kurz: das Ergebnis der Division „Fünf geteilt durch minus Vier“ muss eine negative Zahl sein – als Ausdruck der Forderung, dass die durch den (negativen) Nenner repräsentierten Fehlstellen entfernt (abgezogen) werden müssen.

Rationale Zahlen

Die Menge aller Zahlen, die man als Bruch aus einer ganzen Zahl im Zähler (also oben) und einer ganzen Zahl außer Null im Nenner (also unten) schreiben kann, wird als die Menge der „Rationalen Zahlen“ bezeichnet und mit „\mathbb{Q} “ abgekürzt. Wie man die vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division für derartige Brüche durchführt, haben wir alle in der Sekundarstufe gelernt (nicht jeder von Euch hat das ausgiebig genossen, ich weiß):

  • Addiert werden zwei Brüche, indem man sie auf einen gemeinsamen Nenner bringt, dann die Zähler addiert und diese Summe als neuen Zähler über den gemeinsamen Nenner schreibt.
  • Subtrahiert werden zwei Brüche, indem man sie auf einen gemeinsamen Nenner bringt, dann die Zähler subtrahiert und diese Differenz als neuen Zähler über den gemeinsamen Nenner schreibt.
  • Multipliziert werden zwei Brüche, indem man jeweils die beiden Nenner und die beiden Zähler miteinander multipliziert. Anschließend schreibt man das Produkt der Zähler über das Produkt der Nenner und erhält so den Ergebnisbruch.
  • Dividiert werden zwei Brüche, indem man Zähler und Nenner im teilenden Bruch vertauscht und das Resultat dieses Tauschs mit dem zu teilenden Bruch wie eben beschrieben multipliziert.

Ihr wollt genauer verstehen, warum die eben genannten Rechenvorschriften so sind, wie sie sind? Vorbildlich: dann wäre es mir ja wirklich gelungen, Eure mathematische Neugierde zu wecken. Und noch besser: das kann man alles sogar ziemlich anschaulich erklären („als ob – träum weiter“). Bitte schaut Euch dazu meinen kleinen Beitrag zur Bruchrechnung an.

Für unseren weiteren Weg auf dem Erkundungspfad zur Mandelbrotmenge ist jedenfalls die Erkenntnis wichtig, dass am Ende jeder dieser Rechenoperationen wieder ein Bruch entsteht, der eine Ganze Zahl im Zähler und eine Ganze Zahl (außer der Null) im Nenner hat. Damit ist auch klar, dass aus der Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division zweier Rationaler Zahlen immer eine Rationale Zahl entsteht. Mit keiner dieser Operationen verlassen wir jetzt also noch unsere bekannte Zahlenwelt.

Etappenziel erreicht!

Nullnummer

Warum darf eigentlich im Nenner keine Null stehen? Um das zu beantworten, erinnern wir uns daran, dass ein Bruch der Form a/b für die Division „a÷b“ steht. Diese wiederum steht für die Zahl, mit der man b multiplizieren muss, um a zu erhalten. Wenn jetzt aber eine Null im Nenner stünde, entspräche der Bruch „a/0″ also gerade der Division „0″ und damit der Zahl, mit der ich 0 multiplizieren muss, um a zu erhalten. Davon ausgehend, dass a nicht selbst Null ist, kann es keine solche Zahl geben. Mit was soll man denn auch 0 multiplizieren, um etwa 7 zu erhalten? Null mal irgendwas ist immer Null. Eine Null im Nenner steht also immer für eine Zahl, die es nicht geben kann.

Wirklich immer? Was aber, wenn der Zähler auch Null ist? Dann steht der Bruch „0/0“ für die Division „0÷0“, also für diejenige Zahl, mit der ich Null multiplizieren muss, um Null zu erhalten. So eine Zahl gibt es. Und zwar nicht nur eine. Ich kann Null sogar mit jeder beliebigen Zahl multiplizieren und erhalte immer Null. Also steht „0/0“ doch eigentlich gerade nicht für eine Zahl, die es nicht geben kann. Wo ist dann das Problem mit „0/0“?

Das Problem mit „0/0“ ist eben gerade, dass dieser Ausdruck für jede beliebige Zahl steht und damit wiederum keinen festgelegten Wert hat (oder, wie die Mathematiker sagen, nicht definiert ist). Mit einem Ausdruck zu rechnen, der jeden beliebigen Wert annehmen kann, ist ungefähr so sinnvoll, wie sich „irgendwo“ für „irgendwann“ zu verabreden. Daher kann man also auch nicht mit „0/0“ rechnen – zumindest nicht sinnvoll.

Kurz: Finger weg von der Null im Nenner.

Hoch nehmen und Potenz

„Alter, wenn man Deine Abschnittsüberschriften so liest, bestätigt sich einmal mehr das gängige Vorurteil, dass Nerds einfach nie ihrer Pubertät entwachsen.“

Jaja: Pun wieder mal intended (Honi soit qui mal y pense). So bin ich halt. Aber zur Sache: als wir von den Ganzen zu den Rationalen Zahlen gelangt sind, geschah das – Ihr erinnert Euch hoffentlich noch – weil wir uns mit einer schematischen Mehrfachausführung der Addition – nämlich der Multiplikation – beschäftigt hatten (darauf bin ich ja auch am Ende des Beitrags ziemlich pedantisch herumgeritten). Die zugehörige Umkehroperation (besser: inverse Operation), die Division, wurde dann zum Sorgenkind, weil ihre Ergebnisse in der Regel nicht in den Ganzen Zahlen liegen, was das uns letztlich die Rationalen Zahlen beschert hat.

Etwas Ähnliches geschieht, wenn wir uns nunmehr einer Mehrfachausführung der Multiplikation zuwenden: dem Potenzieren. Erinnern wir uns nochmals kurz an die Einführung der Multiplikation als mehrfaches Hintereinanderausführen der Addition am seinerzeitigen Beispiel für „3×5“: wir schreiben drei Fünfen hintereinander und setzen jeweils links von jeder dieser Fünfen ein Pluszeichen. Das Linksäußerste davon steht dabei für „Null plus…“:

Auf mehr oder weniger dieselbe Weise gelangt man nun von der Multiplikation zum Potenzieren: mit „53“ ist gemeint, dass man drei Fünfen hintereinander schreibt und jeweils links von jeder dieser Fünfen ein Malzeichen setzt. Dabei steht das Linksäußerste davon allerdings für „Eins mal…“, denn das sogenannte „neutrale Element“ der Multiplikation (also dasjenige Element, das man mit jeder Zahl multiplizieren kann, so dass stets wieder die Zahl selbst entsteht) ist die Eins und nicht wie bei der Addition die Null:

Das Ganze mit Kügelchen wie bei der Multiplikation darzustellen, wird erheblich dadurch erschwert, dass wir es beim Potenzieren sehr schnell mit sehr großen Zahlen zu tun bekommen:

In der obersten Reihe haben wir die erste Fünf (also „einmal Fünf“). Die zweite Reihe zeigt das Ergebnis der Hinzufügung der zweiten Fünf (also „einmal Fünf mal Fünf“ oder auch „Fünf hoch zwei“). Das wären dann schon 25 Kügelchen. Die dritte Reihe zeigt nun, was passiert, wenn ich noch eine dritte Fünf hinzufüge (also „einmal Fünf mal Fünf mal Fünf“ oder auch „Fünf hoch Drei“). Dann sind es schon 125 Kügelchen. Jedenfalls schreibt man für das obige Beispiel in der Mathematik üblicherweise 53 und meint damit also gerade 5×5×5. Die „5“ aus diesem Beispiel heißt dann übrigens „Basis“ und die „3“ ist der „Exponent“ der Potenz.

„‚Der Exponent der Potenz‘? Hallo? Liest Du eigentlich selbst, was Du da so schreibst? Wo ist der Bus mit Leuten, die sich für Deinen als Mathematik getarnten Schweinkram interessieren?“

Hm…also „der Exponent der Potenz“ – das hat zugegebenermaßen schon irgendwie eine exhibitionistische Konnotation. Aber selbstverständlich wäre mir das nie aufgefallen, wenn Ihr mich nicht darauf aufmerksam gemacht hättet…

Aber zurück zu unseren mathematischen Potenzen: nach dem oben Gesagten dürfte offensichtlich sein, dass mit 51 eigentlich nur 1×5 – also 5 – gemeint sein kann, denn dann steht nur noch eine Fünf da und die gedankliche Eins links daneben. Ebenfalls solle dann aber auch klar sein, dass dementsprechend mit 50 nur noch 1 gemeint sein kann, denn dann steht gar keine Fünf mehr (also null Fünfen) da, und es verbleibt nur noch die gedankliche Eins.

Man kann dieses Spiel übrigens auch noch weiterführen und negative Zahlen als Exponenten verwenden. Das kann man sich so vorstellen: mit jeder Fünf, die ich in obigem Beispiel herausgestrichen habe, bis ich von 53 zu 50 gekommen bin, habe ich eigentlich jedesmal nichts anderes gemacht, als durch 5 zu teilen:Das heißt also, das Verringern des Exponenten um 1 entspricht dem Teilen durch die Basis (in unserem Beispiel die 5). Dann aber müsste 5-1 doch nichts anderes sein als 50÷5, also 1÷5 bzw. 1/5. Und genauso ist es auch. Dementsprechend ist 5-2 also 5-1÷5, was soviel heißt wie 1/5÷5 und somit 1/25 bzw. 1/(52). Allgemein bedeutet mn also nichts anderes als 1/(mn).

Nach alledem sollte es nicht allzu schwer sein, der Behauptung beizupflichten, dass das Ergebnis des Potenzierens einer rationalen Zahl mit einer ganzen Zahl als Exponent immer selbst auch eine rationale Zahl ist, denn eigentlich passiert beim Potenzieren mit ganzzahligen Exponenten ja nichts anderes als ganz viel Multiplizieren (bei positiven Exponenten) oder Dividieren (bei negativen Zahlen oder der 0 als Exponenten). Beides liefert uns – wie oben festgestellt – aber immer wieder rationale Zahlen, so dass uns auch das Potenzieren einer rationalen Zahl mit einem ganzzahligen Exponenten immer eine rationale Zahl liefert.

Das Potenzieren ist übrigens alles andere als eine rein akademische Übung. Es beschreibt insbesondere die quantitativen Aspekte natürlicher Wachstumsprozesse wie etwa die Zellteilung in organischem Gewebe aber auch die Vermehrung von Kapital durch fortgesetzte Verzinsung oder aber die Ausbreitung von Epidemien.

Was die Psychologen jetzt wohl angesichts dieser Beispielaufzählung mit Blick auf die Mechanik des assoziativen Denkens sagen würden…

Die Wurzel des Übels

Ihr ahnt schon, wie es jetzt weitergeht: als nächstes kommt natürlich die Umkehroperation zur eben eingeführten Mehrfachausführung der bereits vertrauten Operation. Und in der Tat: auch das Potenzieren hat eine Umkehroperation. Sie heißt „Wurzelziehen“, wird „“ geschrieben und beantwortet die Frage, welche Zahl man mit einer vorgegebenen Zahl potenzieren muss, um eine andere vorgegebene Zahl zu erhalten:

Im obigen Beispiel wäre also die dritte Wurzel aus 125 gerade jene Zahl, die man mit 3 potenzieren muss, um 125 zu erhalten. Wir ahnen es: das Ergebnis ist „5“, denn wie wir oben gesehen haben, ist 53 = 5×5×5 = 125.

Jetzt also die sicher schon erwartete Frage: ist die Wurzel aus einer rationalen Zahl selbst immer eine rationale Zahl? Antwort: nein. Manchmal ja, aber meistens halt nicht. In obigem Beispiel ist es so, in folgendem aber nicht:

\sqrt[2]{2}

Den klassischen, rund 2.500 Jahre alten Beweis dafür, dass die Wurzel aus Zwei keine rationale Zahl sein kann, habe ich für die wirklich Interessierten unter Euch in einem eigenen kleinen Beitrag aufbereitet.

Mag dieser Beweis noch so altehrwürdig und vielleicht auch irgendwie eindrucksvoll daherkommen, aber ganz ehrlich: nach meinem Dafürhalten erklärt er einfach nicht so richtig inhaltlich überzeugend, warum es wirklich keinen Bruch geben kann, der mit sich selbst multipliziert 2 ergibt. Daher habe ich mir die Mühe gemacht, diesen Klassiker der Mathematikhistorie nochmals genauer auf das Warum hin zu untersuchen. Was dabei herausgekommen ist, habe ich ebenfalls in einem eigenen kleinen Beitrag aufbereitet. Ich gestehe in meiner grenzenlosen Bescheidenheit, dass ich meinen darin vorgestellten Ansatz ziemlich überzeugend finde. Aber wir Nerds haben ja bekanntlich so unsere eigenen Ansichten darüber, was wir als begeisterungswürdig empfinden…

Die Grundidee hinter beiden Beweisen ist jedenfalls diejenige, dass weder im Zähler noch im Nenner eines jedweden Produkts aus zwei Brüchen Zahlen vorkommen können, deren Teiler nicht in den Zählern bzw. Nennern der multiplizierten Brüche vorkommen. Wenn also die 2 der Zähler des Produkts eines Bruchs mit sich selbst sein soll, muss sie oder ihre Teiler im Zähler des mit sich selbst multiplizierten Bruchs vorgekommen sein. Da sie keine Teiler außer sich selbst hat, muss sie aber selbst im Zähler des mit sich selbst zu multiplizierenden Bruchs vorgekommen sein, so dass sie dann gleich zweifach im Zähler des Ergebnisbruches stehen würde. Soll eine dieser beiden Zweien durch Kürzung mit entsprechenden Teilern des Nenners wieder verschwinden, muss dieser Teiler – und damit die 2 selbst – aus dem Nenner des mit sich selbst multiplizierten Bruchs stammen, so dass sie wiederum mindestens zweifach im Nenner des Ergebnisses erscheint und damit gleich beide Zweien des Zählers durch Kürzung „neutralisiert“.

Toller Satz. Ich weiß. Aber er bringt es auf den Punkt – vorausgesetzt, man versteht ihn. Wenn nicht – auch egal. Es geht um die wesentliche Erkenntnis die daraus folgt:

Unterm Strich (passt irgendwie zu Bruchrechnung) kommt nämlich dabei heraus, dass die Wurzel aus 2 nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen dargestellt werden kann und damit auch keine rationale Zahl sein kann, denn diese lassen sich ja gerade per definitionem als Brüche aus zwei ganzen Zahlen darstellen. Tatsächlich gehört die Wurzel aus 2 zur sogenannten Menge der „Irrationalen Zahlen“. Die Mathematikaversen unter Euch werden diese Bezeichnung sicher gut finden, zumal ihnen wohl die meisten Zahlen reichlich irrational vorkommen. Dieses Gefühl trügt Euch übrigens keineswegs, denn man kann zeigen, dass es unfassbar viel mehr irrationale Zahlen als rationale Zahlen gibt.

Fazit

Schon wieder haben wir also durch weiteres Einführen einer neuen Operation als mehrfache Hintereinanderausführung einer bereits vertrauten Operation bei Betrachtung ihrer Umkehroperation festgestellt, dass deren Ergebnisse im Allgemeinen nicht in unserer bisher bekannten Zahlenwelt liegen. In der nächsten Folge dieser Beitragsserie werden wir sehen, dass wir die Irrationalen Zahlen – trotz ihrer sprichwörtlichen Irrationalität – in der Tat zu unseren bisher bekannten Zahlen hinzunehmen müssen, um sicherzustellen, dass die Wurzeln unserer Zahlen nicht außerhalb unserer bekannten Zahlenwelt liegen. Und es kommt noch besser: wir werden sehen, dass es dann immer noch Rechenoperationen gibt, deren Ergebnisse unsere so erweiterte Zahlenwelt verlassen. Man darf also gespannt sein.

Trotzdem sind die Rationalen Zahlen alles andere als unbedeutend. Tatsächlich sind es sogar die Zahlen schlechthin, wenn es um das rein numerische Rechnen geht. Weder wir Menschen noch irgendein Computer dieser Welt rechnet letztendlich mit etwas anderem als mit rationalen Zahlen. Im Grunde basiert also die gesamte Informationstechnologie auf dem Rechnen mit rationalen Zahlen. Auch wenn wir die Rationalen Zahlen hier also aus didaktischen Gründen in bestimmter Hinsicht als unzureichend abqualifiziert haben mögen, sollten wir uns daher schon aufgrund ihrer immensen praktischen Bedeutung durchaus ein gewisses Maß an Ehrfurcht vor ihnen bewahren. Sie sind die Zahlen unseres alltäglichen Rechnens.

Alles Liebe

Daniel

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