Die Wurzel der Irrationalität

Hallo Ihr Lieben,

in diesem kleinen Beitrag wollte ich im Zusammenhang mit meiner Beitragsserie „Vom Zählen zur Mandelbrotmenge“ den traditionellen Beweis dafür präsentieren, dass die Wurzel aus 2 keine rationale Zahl sein kann. Tatsächlich geht dieser Beweis nach derzeitigem Kenntnisstand auf einen Pythagoreer aus dem fünften vorchristlichen Jahrhundert zurück (als Autor vermutet wird Hippasos von Metapont). Der Beweis ist also schon ziemlich alt, hat aber in all den Jahren absolut nichts von seiner Aktualität eingebüßt.

Das ist einer der wirklich bestechenden Vorzüge der Mathematik: einmal bewiesene mathematische Sachverhalte gelten für die Ewigkeit. Wer sich also unsterblich machen will, muss im Grunde nichts anders tun, als ein möglichst vielbeachtetes mathematisches Theorem zu beweisen.

Habe ich vielleicht gerade Euer Interesse geweckt? Der schnelle Weg zur Unsterblichkeit? Tut Euch keinen Zwang an. Löst doch mal eben schnell eines der Millennium-Probleme und schon ist Euch weltweite Berichterstattung in den Medien garantiert. Und die eine Million Dollar als Preisgeld runden die Sache ja dann doch schon irgendwie anständig ab, oder? Da kann man wahrlich nicht meckern. Sagt mir bitte Bescheid, sobald Ihr den Beweis habt. Vor allem den für das „P-NP-Problem“. Der würde mich wirklich interessieren.

Nun aber zu unserem altehrwürdigen Beweis:

Da wir beweisen wollen, dass die Wurzel aus 2 keine rationale Zahl sein kann, es also keine rationale Zahl gibt, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt, bietet sich jenes Vorgehen an, dass die Mathematiker „Widerspruchsbeweis“ nennen: man nimmt an, die Wurzel aus 2 wäre eben gerade doch rational und zeigt dann, dass diese Annahme letztlich auf einen logischen Widerspruch führt. Dann nämlich muss die Annahme, es gäbe eine rationale Wurzel aus 2, falsch sein (sonst würde sie nicht auf einen Widerspruch führen). Wenn es aber falsch ist anzunehmen, dass es eine rationale Wurzel aus 2 gibt, dann ist das gleichbedeutend damit, dass es keine rationale Wurzel aus 2 geben kann, was wir ja eigentlich auch beweisen wollen.

Hach – ist Logik nicht einfach herrlich logisch?

Nehmen wir jetzt also wirklich mal an, die Wurzel aus 2 wäre rational. Dann heißt das aber nichts anderes, als dass es eine rationale Zahl geben muss, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt. Dann wiederum muss diese Zahl als Bruch aus zwei ganzen Zahlen a und b darstellbar sein (wobei b ungleich 0 ist). Für diesen Bruch „a/b“ müsste also gelten:

\frac{a}{b}\times\frac{a}{b} = 2

Für die weiteren Überlegungen setzen wir voraus, dass a und b keine gemeinsamen Teiler haben. Wieso wir das voraussetzen dürfen? Die Antwort folgt auf dem Fuße.

Teile mit Weile

Also: wieso dürfen wir jetzt einfach so annehmen, dass a und b keinen gemeinsamen Teiler haben? Antwort: na schön, wie Ihr wollt – dann nehmen wir halt doch erst einmal an, sie hätten einen gemeinsamen Teiler – sagen wir die Zahl 5. Dann gäbe es zwei Zahlen c und d, für die gelten müsste a = 5×c bzw. b = 5×d. Solche zwei Zahlen c und d muss es deshalb geben, weil ja a und b beide durch 5 teilbar sein sollen. Eine Zahl, die durch 5 teilbar sein soll, ist aber nichts anderes als ein Vielfaches von 5. Unser a ist also das „c-Fache“ von 5 für ein geeignetes c und unser b entsprechend das „d-Fache“ von 5 für ein geeignetes d. Wäre beispielsweise a = 30 und b = 20, dann wäre c = 6 – wegen 30 = 5×6 – und d = 4 – wegen 20 = 5×4.

Unseren obigen Bruch könnten wir damit auch so schreiben:

\frac{a}{b} = \frac{5\times c}{5\times d}

Wenn wir uns an die in meinem eigens dafür verfassten Beitrag rekapitulierten Regeln für die Multiplikation von Brüchen erinnern, steht da aber nichts anderes als

\frac{a}{b} = \frac{5}{5}\times\frac{c}{d}

Da der Bruch 5/5 der Division 5÷5 entspricht und eine Zahl durch sich selbst geteilt immer 1 ergibt, steht da wiederum nichts anderes als:

\frac{a}{b} = 1\times\frac{c}{d} = \frac{c}{d}

Mit anderen Worten: der Bruch c/d hätte denselben Wert wie der Bruch a/b und wäre damit insbesondere immer noch die Wurzel aus 2, was wir ja gerade von a/b angenommen hatten. Der Unterschied zwischen den beiden Brüchen ist jedoch, dass wir c/d in Zähler und Nenner gleichermaßen um einen gemeinsamen Teiler – hier die 5 – entschlackt haben. Diese Entschlackungskur können wir aber mit c/d fortführen und erhalten dann einen neuen Bruch e/f, der wiederum die Wurzel aus 2 ist und noch einen gemeinsamen Teiler weniger in Zähler und Nenner hat als c/d. Dieses Spiel kann man dann solange mit allen verbleibenden gemeinsamen Teilern weitertreiben, bis man schließlich zwei Zahlen x und y erhält, die überhaupt keinen gemeinsamen Teiler mehr haben, für die aber weiterhin x/y = a/b gilt, so dass dieser Bruch damit immer noch die Wurzel aus 2 ist.

Kurz: man kann zu jedem Bruch einen gleichwertigen Bruch erzeugen, in welchem Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler mehr haben.

Weil das aber so ist, können wir – wie der Mathematiker sagen würde – ohne Beschränkung der Allgemeinheit einfach annehmen, dass wir die oben beschriebene Teilerbereinigung für unser ursprüngliches a/b schon hinter uns haben. Falls nicht, führen wir sie eben jetzt schnell noch durch und erhalten dann einen gleichwertigen und gleichzeitig teilerfreien Bruch, denn wir einfach wieder a/b nennen.

Entwurzelt

Nun also zurück zu unserer Ausgangsgleichung:

\frac{a}{b}\times\frac{a}{b} = 2

Wie eben (hoffentlich überzeugend) dargelegt, dürfen wir annehmen, dass a und b keinen gemeinsamen Teiler haben. Nach den Regeln für die Multiplikation von Brüchen (wiederum nachzulesen in meinem eigens dafür verfassten Beitrag) entspricht die obige Gleichung aber gerade der folgenden Gleichung:

\frac{a\times a}{b\times b} = 2

Das heißt aber, dass a×a doppelt so groß sein muss wie b×b, denn sonst würde bei der durch den Bruch repräsentierten Division nicht 2 rauskommen:

a\times a = 2\times (b\times b)

a×a muss dann aber eine gerade Zahl sein, denn es ist ja ein Vielfaches von 2 (also durch 2 teilbar) und genau das ist nun einmal die Definition von geraden Zahlen.

Damit bei der Multiplikation einer Zahl mit sich selbst eine gerade Zahl herauskommt, muss die Zahl selbst jedoch gerade sein (wer’s nicht glaubt, probiere doch einfach mal, eine beliebige ungerade Zahl mit sich selbst zu multiplizieren – wetten, es kommt nie eine gerade Zahl heraus?). Also ist a selbst von der Form 2×c für ein geeignetes c, denn jede gerade Zahl ist per definitionem durch 2 teilbar und damit ein Vielfaches von 2. Wir können a in unserer Gleichung demnach durch 2×c ersetzen und unsere Gleichung damit so schreiben:

\underbrace{2\times c}_a\times \underbrace{2\times c}_a = 2\times (b\times b)

Aus didaktischen Gründen fügen wir noch ein paar Klammern ein:

2\times (c\times 2\times c) = 2\times (b\times b)

Wir sehen, dass hier die Gleichheit von etwas Zweifachem links mit dem Zweifachen von etwas Rechts gefordert wird. Dann ist aber auch das Einfache links gleich dem Einfachen rechts:

Also schmeißen wir die 2 einfach auf beiden Seiten raus und schreiben unsere Gleichung damit so:

c\times 2\times c = b\times b

Wir erinnern uns daran, dass es bei hintereinander auszuführenden Multiplikationen nicht auf die Reihenfolge ankommt und vertauschen daher aus didaktischen Gründen die beiden linksäußersten Faktoren „c“ und „2“ und umgeben sie aus didaktischen Gründen mit Klammern:

2\times (c\times c) = b\times b

Jetzt sehen wir, dass b×b aber ebenfalls gerade sein muss, denn es ist ja das Doppelte von c×c und damit ein Vielfaches von 2. Mit derselben Überlegung, die wir oben für a angestellt haben, können wir daher auch gleich für b schließen, dass es damit selbst eine gerade Zahl (also ein Vielfaches von 2) sein muss. Demnach ist b also von der Form 2×d für ein geeignetes d. Unser Ausgangsbruch a/b, von dem wir angenommen hatten, er wäre die Wurzel aus 2, kann daher auch so geschrieben werden:

\frac{a}{b}=\frac{\overbrace{2\times c}^a}{\underbrace{2\times d}_b}

Hä? Wir hatten doch oben langatmig erklärt, warum wir annehmen dürfen (und es auch getan haben), dass a und b eben gerade keine gemeinsamen Teiler mehr haben und jetzt sind doch wieder beide Vielfache von 2 und damit beide durch 2 teilbar? Wenn a/b also der Wurzel aus 2 entsprechen soll, dann müssen a und b zur gleichen Zeit keinen gemeinsamen Teiler haben und dennoch beide durch 2 teilbar sein. Genau solch eine Situation nennt der Mathematiker einen Widerspruch, und dass wir auf einen solchen gestoßen sind zeigt, wie eingangs erläutert, dass unsere Grundannahme, es gäbe einen Bruch a/b, der mit sich selbst multipliziert 2 ergibt, widersprüchlich und damit falsch ist.

Also gibt es keinen Bruch, den man mit sich selbst multiplizieren kann, so dass 2 herauskommt, und die Wurzel aus 2 ist damit keine rationale Zahl. Quod erat demonstrandum.

Alles Liebe

Daniel

2 Gedanken zu „Die Wurzel der Irrationalität“

  1. Du klagtest zuvor, dieser Beweis sei nicht anschaulich. Ich stimme dir zu: Widerspruchsbeweise sind nie „anschaulich” (und erst recht nicht, wenn sie die Existenz von etwas beweisen sollen — was hier natürlich nicht der Fall ist). Aber man kann eine halbwegs richtige Anschauung extrahieren: Die Wurzel aus zwei ist kein Bruch, weil Zähler und Nenner beliebig groß werden müssten, wenn man die Wurzel aus zwei exakte ausdrücken wollte. Anders gesagt: Beliebig gut approximieren erlaubt; erreichen verboten.

    1. Danke für die Rückmeldung.

      Also — die Existenz eines mathematischen Objekts zu widerlegen, ist ohne Widerspruchsbeweis nicht möglich. Es soll ja gerade gezeigt werden, dass die Existenz des betreffenden Objekts aus denkgesetzlichen Erwägungen heraus ausgeschlossen ist. Und das ist gleichbedeutend damit, dass die Annahme der Existenz dieses Objekts auf einen logischen Widerspruch führt.

      Etwas anderes wäre es, wenn man — wie in der Mathematik durchaus üblich — die Existenz eines Objekts beweisen will, indem man annimmt, es gäbe dieses Objekt gerade nicht und diese Annahme dann auf einen Widerspruch führt. Das wäre in der Tat unkonstruktiv, denn man hätte streng genommen nur bewiesen, dass die Nichtexistenz des betreffenden Objekts kategorisch ausgeschlossen werden kann. Über konkrete Eigenschaften eines solchen Objekts hat man mit so einer Beweisführung in der Regel allerdings keinen Erkenntnisgewinn erzeugt. Das wirft die Frage nach der Sinnhaftigkeit einer solchen Beweisführung auf.

      Dazu gab es im ersten Drittel des zwanzigsten Jahrhunderts eine recht kontroverse Diskussion unter den einschlägigen Logik-Gurus — insbesondere auf Basis vehement vorgetragener Kritik von Seiten der Vertreter der sogenannten „intuitionistischen Logik“, die genau darauf abzielte, derartige nicht-konstruktive Beweisführungen als unzulässig zu betrachten. Wirklich durchgesetzt hat sich das aber, bis auf ganz wenige Nischenbereiche, nicht.

      Deine Gedanken dazu, warum die Wurzel aus 2 kein Bruch sein kann, stellen auf die Struktur der irrationalen Zahlen ab. Das setzt allerdings voraus, dass man bereits von der Existenz irrationaler Zahlen Kenntnis hat und ihre Eigenschaften kennt. Dies wiederum setzt voraus, dass man überhaupt erst einmal zeigen kann, warum es Zahlen gibt, die nicht rational sein können — also etwa die Wurzel aus 2. Insofern ersetzt das nicht den guten alten Beweis, den ich hier zu rekapitulieren versucht habe…

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