Vom Zäh­len zur Man­del­brot­men­ge – Teil 8: Erfor­schung der Mandelbrotmenge

Hal­lo Ihr Lieben,

nach­dem wir uns fünf Bei­trä­ge und etli­che Zusatz­bei­trä­ge lang mit Zah­len­theo­rie her­um­ge­schla­gen haben und uns dann zwei wei­te­re Bei­trä­ge lang mit Defi­ni­ti­on und Fest­stel­lung der Zuge­hö­rig­keit zur Man­del­brot­men­ge sowie den berech­nungs­mä­ßi­gen Fra­gen ihrer Visua­li­sie­rung befasst haben, sind wir jetzt end­lich an dem Punkt ange­langt, an dem wir uns auf jenen Aspekt fokus­sie­ren kön­nen, den ich im ein­lei­ten­den Bei­trag zu die­ser Serie als Teaser in den Vor­der­grund gestellt hat­te: die umwer­fen­de Schön­heit und bestechen­de Ästhe­tik der Man­del­brot­men­ge und ihrer Visua­li­sie­run­gen [ein Absatz bestehend aus einem ein­zi­gen Satz – mein Deutsch­leh­rer hät­te mir die … naja, Ihr wisst schon].

Wir wis­sen ja seit dem letz­ten Bei­trag, dass die­se Visua­li­sie­rung der Man­del­brot­men­ge bzw. ihrer Teil­aus­schnit­te nichts ande­res ist, als die Ein­fär­bung von Bild­punk­ten (Pixeln) auf unse­rem Dis­play mit einer Far­be, die sich dar­aus ergibt, ob das jeweils betrach­te­te Pixel zur Man­del­brot­men­ge gehört (und damit tra­di­tio­nell in Schwarz dar­ge­stellt wird) oder, falls nicht, wie­vie­le Durch­läu­fe durch den Man­del­brot-Trans­for­ma­tor man gebraucht hat, um eben die­se Tat­sa­che fest­zu­stel­len (also bis erst­mals eine Zahl grö­ßer 2 aus dem Trans­for­ma­tor aus­ge­wor­fen wur­de). In letz­te­rem Fall wird je nach die­ser soge­nann­ten „Abbruch­an­zahl” eine bestimm­te Far­be für das ent­spre­chen­de Pixel aus­ge­wählt. Wie man die­se Far­ben sinn­vol­ler Wei­se aus­wählt, hat­ten wir eben­falls eini­ger­ma­ßen aus­führ­lich im letz­ten Bei­trag diskutiert.

Außer­dem hat­ten wir uns dort mit der Fra­ge beschäf­tigt, wie man immer tie­fer in die Man­del­brot­men­ge hin­ein­zoo­men kann, was soviel heißt, wie sich von sei­nem Rech­ner immer klei­ne­re Aus­schnit­te visua­li­sie­ren zu las­sen. Dabei haben wir auf das Pro­blem ver­wie­sen, dass man es beim Visua­li­sie­ren zuneh­mend klei­ne­rer Aus­schnit­te sowohl mit den Gren­zen der Rechen­ge­nau­ig­keit als auch mit stark wach­sen­den Abbruch­an­zah­len zu tun bekommt. Bei­des wirkt sich ungüns­tig auf die Berech­nungs­zeit für die Dar­stel­lung sol­cher stark ver­grö­ßer­ten Berei­che der Man­del­brot­men­ge aus – ein Pro­blem, dem nur weni­ge Nerd-mäßi­ge Pro­gram­me mit Hil­fe aus­ge­klü­gel­ter Tricks bei­zu­kom­men in der Lage sind.

Ein­bli­cke

Doch jetzt soll es mal gut sein mit all den technisch/theoretischen Betrach­tun­gen. Ich hat­te ja am Ende des letz­ten Bei­trags vie­le bun­te Bil­der und Ani­ma­tio­nen ver­spro­chen. Damit wol­len wir also gleich mal anfan­gen. Ihr wer­det mir aber bit­te nach­se­hen, wenn ich die­se opti­schen Lecker­bis­sen gleich­zei­tig zum Anlass neh­me, um an ihnen ein paar (wie ich fin­de) eben­so inter­es­san­te wie bemer­kens­wer­te Eigen­hei­ten der Man­del­brot­men­ge zu erläu­tern (ja, ich höre es schon: „er kann halt ein­fach nicht aus sei­ner Haut…”)

Begin­nen wir jetzt mal mit einer der bedeut­sams­ten Eigen­schaf­ten der Man­del­brot­men­ge, näm­lich der soge­nann­ten „Selbst­ähn­lich­keit”. Der 1924 in War­schau gebo­re­ne und spä­ter vor allem in den USA täti­ge Wis­sen­schaft­ler und Uni­ver­sal­ge­lehr­te Benoît Man­del­brot (erwähn­te ich eigent­lich schon, dass die Man­del­brot­men­ge nach ihm benannt ist?) begann in den 1960er Jah­ren sei­ne com­pu­ter­ge­stütz­ten For­schun­gen an soge­nann­ten „Julia-Men­gen” – mathe­ma­ti­sche Objek­te, die mit der Man­del­brot­men­ge eng ver­wandt sind. In die­sem Zusam­men­hang präg­te er den Begriff „Frak­tal” für Struk­tu­ren, deren wich­tigs­te Cha­rak­te­ris­tik die soge­nann­te „Selbst­ähn­lich­keit” ist. Wir alle ken­nen das aus ganz natür­li­chen Zusam­men­hän­gen. Eines der prä­gnan­tes­ten Bei­spie­le für eine in die­sem Sin­ne frak­ta­le Struk­tur ist etwa die Romanesco-Pflanze:

Man sieht deut­lich, dass sie aus lau­ter klei­nen Kopien ihrer selbst besteht, die ihrer­seits wie­der­um aus noch klei­ne­ren Kopien ihrer selbst bestehen und so wei­ter. Die­se Selbst­ähn­lich­keit fin­den wir auch in der Man­del­brot­men­ge. Dazu habe ich Euch zwei klei­ne Ani­ma­tio­nen erzeugt, anhand derer das gut zu erken­nen ist:

Die­se Ani­ma­ti­on zoomt auf die kom­ple­xe Zahl mit dem reel­len Anteil -1,40115518909599799 und dem ima­gi­nä­ren Anteil -0.0000000000025077 zu. Auf dem Weg dahin seiht man immer wie­der mehr oder weni­ger iden­ti­sche Kopien des Apfel­männ­chens vor­bei­flie­gen. Zuletzt zoo­men wir dann in den „Hin­tern” eines sol­chen Apfel­männ­chens hin­ein (sor­ry für jed­we­des Kopf­ki­no, das ich damit in Gang gesetzt haben soll­te) und fin­den ein Wei­te­res inmit­ten der fili­gra­nen Struk­tu­ren, die sich in die­se Tal-arti­ge Öff­nung hineinziehen.

Bereits im letz­ten Teil hat­te ich an ent­spre­chen­der Stel­le erwähnt, dass die­se Kopien („Satel­li­ten” oder auch ger­ne ein­fach mal „Mini­bro­te” genannt) immer und immer wie­der in den Tie­fen der Man­del­brot­men­ge auf­tau­chen. Wer von Euch ger­ne mal mit der wei­ter unten emp­foh­le­nen Soft­ware danach suchen will, dem sei der Tipp mit­ge­ge­ben, dass sich die­se Satel­li­ten vor­zugs­wei­se an Kno­ten­punk­ten fin­den las­sen, die von genau vier der über­all anzu­tref­fen­den fili­gra­nen Ver­äs­te­lun­gen gebil­det wer­den. Hier ein Bei­spiel für so einen Kno­ten­punkt und das dar­in zu fin­den­de Mini­brot als klei­ne Bildsequenz:

 

Als zwei­tes woll­te ich Euch mal zei­gen, dass das Apfel­männ­chen erkenn­bar unend­lich vie­le „Köp­fe” hat:

Hier zoo­men wir jeweils auf die kreis­för­mi­ge Struk­tur zu, die sich ganz vor­ne am „Kopf” des Apfel­männ­chens befin­det. Die­se hat ihrer­seits wie­der einen sol­chen Kopf, der auch wie­der so einen Kopf hat und so wei­ter. Ein Ende die­ses Auf­baus gibt es übri­gens nicht. Wenn man Zeit genug hät­te, könn­te man für alle Ewig­keit wei­ter­zoo­men und wür­de nie­mals auf einen aller­letz­ten Kopf stoßen.

Das führt uns zu der zwei­ten wich­ti­gen Eigen­schaft frak­ta­ler Struk­tu­ren: ihr Rand ist im Wesent­li­chen unend­lich kom­plex. Soll hei­ßen: egal, wie stark man den Rand ver­grö­ßert, man kommt nie an den Punkt, wo er sich aus „glat­ten” Ele­men­ten zusam­men­setzt. Das ist im Grun­de so, wie man es von Küs­ten­li­ni­en her kennt. Jede Bucht setzt sich aus klei­ne­ren Ein­buch­tun­gen zusam­men und jede die­ser Ein­buch­tun­gen hat ihrer­seits einen gezack­ten oder gewell­ten Küs­ten­li­ni­en­ver­lauf. Das Gan­ze kann man letzt­lich bis auf die Sand­kör­ner her­un­ter­bre­chen – und nicht mal die haben unter der Lupe betrach­tet eine glat­te Oberfläche:

Was wir hier für den „Kopf” des Apfel­männ­chens gese­hen haben, gilt natür­lich glei­cher­ma­ßen für all jene kreis­ar­ti­gen Ele­men­te, die sich den Rand des Apfel­männ­chens ent­lang hin­zie­hen, wie  in fol­gen­der Ani­ma­ti­on zu sehen ist:

Eine eben­so inter­es­san­te wie schwer vor­stell­ba­re Fol­ge die­ses Phä­no­mens ist der Umstand, dass der Rand der Man­del­brot­men­ge kei­ne end­li­che Län­ge hat. Statt­des­sen ist er tat­säch­lich unend­lich lang. Das ist vor allem des­halb befrem­dend, weil der Flä­chen­in­halt der Man­del­brot­men­ge dem­ge­gen­über end­lich ist. Ande­rer­seits: wer von Euch sich mal die Mühe macht, etwa mit der wei­ter unten emp­foh­le­nen Soft­ware den Grenz­be­reich der Man­del­brot­men­ge zu erkun­den, wird sich mög­li­cher­wei­se doch wie­der­um vor­stel­len kön­nen, dass die „Küs­ten­li­nie” der Man­del­brot­men­ge nicht end­lich sein kann, da sie unter jeder belie­bi­gen Ver­grö­ße­rungs­stu­fe immer wie­der genau­so zer­klüf­tet erscheint.

Gren­zen­lo­se Grenze

Dass der Rand des Apfel­männ­chens unend­lich lang ist, wur­de im Jah­re 1998 impli­zit vom japa­ni­schen Mathe­ma­ti­ker Mit­su­hi­ro Shi­shi­ku­ra bewie­sen. Selbst­ver­ständ­lich wer­de ich Euch die­sen Beweis hier nicht zumu­ten (ich habe ihn – offen gesagt – auch mir selbst nicht zuge­mu­tet). Wie es aber gene­rell sein kann, dass der Rand einer geo­me­tri­schen Form mit end­li­chem Flä­chen­in­halt unend­lich sein kann, sei Euch am sehr viel ein­fa­che­ren Bei­spiel der 1904 vom schwe­di­schen Mathe­ma­ti­ker Hel­ge von Koch erfun­de­nen und ent­spre­chend nach ihm benann­ten Koch-Flo­cke demons­triert. Die­se wird wie folgt erzeugt:

Man beginnt mit einem ein­fa­chen gleich­sei­ti­gen Dreieck:

Im nächs­ten Schritt knöpft man sich jede Sei­te die­ses Drei­ecks vor und teilt sie in drei gleich­gro­ße Abschnit­te ein. Für die Sei­te ganz oben im Bild sieht das so aus:

Anschlie­ßend nimmt man den Mitt­le­ren der drei so geschaf­fe­nen Abschnit­te und klappt ihn um 60° gegen den Uhr­zei­ger­sinn nach oben:

Schließ­lich ver­bin­det man die ent­stan­de­ne Lücke wie­der mit einer gera­den Linie:

Es soll­te offen­sicht­lich sein, dass die­se letz­te Linie genau­so lang ist wie das zuvor nach oben geklapp­te Seg­ment – also ein Drit­tel so lang, wie die ursprüng­li­che Linie, die wir in drei gleich­gro­ße Tei­le geteilt haben. Ins­ge­samt haben wir jetzt also vier Seg­men­te, die alle­samt so lang sind wie ein Drit­tel der Aus­gangs­li­nie. Mit ande­ren Wor­ten: die neue Linie hat also vier Drit­tel der Län­ge unse­rer Ausgangslinie.

Wenn man das nun mit allen drei Sei­ten des obi­gen Drei­ecks macht, erhält man ein Hexagramm:

Der Rand die­ses Hexa­gramms hat offen­bar vier Drit­tel der Län­ge, die der Rand unse­res ursprüng­li­chen gleich­sei­ti­gen Drei­ecks hat­te (ich habe jede der drei Sei­ten unse­res Drei­ecks durch eine Linie ersetzt, die um vier Drit­tel län­ger ist als die jewei­li­ge Ursprungsseite).

Als nächs­tes nimmt man wie­der jede ein­zel­ne Sei­te der zuletzt erzeug­ten Form, teilt sie wie­der in drei gleich­gro­ße Abschnit­te, klappt den Mitt­le­ren davon wie­der um 60° gegen den Uhr­zei­ger­sinn nach oben und ver­bin­det die ent­ste­hen­de Lücke wie­der mit einer gra­den Linie. Das Ergeb­nis sieht dann wie folgt aus:

Wie­der­um ist der Rand die­ser Form um vier Drit­tel län­ger als der Rand der zuletzt betrach­ten Form. Das Spiel kann man jetzt noch­mals wie­der­ho­len und erhält fol­gen­de Form:

Und auch hier ist der Rand wie­der vier Drit­tel so lang wie der Rand unse­rer vor­an­ge­gan­ge­nen Form. Nun set­zen wir die­ses Spiel ein­fach bis in die Unend­lich­keit fort. Die ent­ste­hen­de Form sieht dann grob gezeich­net unge­fähr so aus:

Wer den Ent­ste­hungs­pro­zess der Koch-Flo­cke und die frak­ta­le Gestalt ihres Rands lie­ber ani­miert sehen will, für den habe ich ein recht anschau­li­ches Video auf You­Tube gefunden:

Und wie lang ist jetzt der Rand der Koch-Flocke?

Neh­men wir mal an, der Rand unse­res Aus­gangs­drei­ecks hät­te die Län­ge 1 gehabt, dann hät­te das Hexa­gramm im ers­ten Schritt unse­res Ver­län­ge­rungs­pro­zes­ses die Län­ge 4/3. Im nächs­ten Schritt hät­ten wir dann eine Form der Län­ge 4/3×4/3 bzw. (4/3)² erhal­ten. Damit erhal­ten wir im drit­ten Schritt die Län­ge (4/3)³, im Vier­ten (4/3)⁴, im Fünf­ten (4/3)⁵ usw. Da 4/3 grö­ßer als 1 ist (unge­fähr 1,333333), wächst Rand mit jedem Schritt tat­säch­lich – näm­lich auf rund 133,33% der Rand­län­ge der jewei­li­gen Vor­gän­ger­form. Das wäre anders, wenn wir es z.B. mit 3/4 – also 0,75 – zu tun gehabt hät­ten. Dann wäre die Rand­län­ge mit jedem Schritt nur 75% des vor­an­ge­gan­ge­nen Schrit­tes. In unse­rem Fall wächst sie statt­des­sen – wie gesagt – mit jedem Schritt auf 133,33% der bis­he­ri­gen Län­ge.  Das fol­gen­de Dia­gramm zeigt für eine ange­nom­me­ne Aus­gangs­län­ge von 1 die Län­ge der Rän­der für die ers­ten 17 Schritte:

Man sieht deut­lich, dass wir es hier sogar mit einem nicht-linea­ren Wachs­tum zu tun haben (soll hei­ßen: die oran­ge­brau­ne Linie ist gekrümmt und nicht gera­de). Prak­tisch heißt das, dass wir zwar neun Schrit­te brau­chen, um die Län­ge von 10 errei­chen, danach aber gera­de mal wei­te­re acht Schrit­te, um die Län­ge von 100 zu errei­chen. Die Rand­län­ge ver­zehn­facht sich also alle acht bis neun Schrit­te. Da wir aber das Ergeb­nis der unend­li­chen Fort­set­zung die­ses Pro­zes­ses betrach­ten wol­len, ist dem­nach auch die Län­ge des Ran­des der auf die­se Wei­se defi­nier­ten Form eben­falls unendlich.

Und was ist jetzt mit dem Flächeninhalt?

Der muss end­lich sein, was sich Euch anhand fol­gen­der Dar­stel­lung erschlie­ßen sollte:

Man sieht hier die ver­schie­de­nen For­men, die sich im Lau­fe des oben beschrie­be­nen Pro­zes­ses zur Erzeu­gung der Koch-Flo­cke erge­ben. Und alle­samt befin­den sich ein­deu­tig inner­halb des roten Umkrei­ses um unser Aus­gangs­drei­eck. Es bedarf hof­fent­lich kei­ner wei­te­ren Erläu­te­rung, dass die­ser Umkreis einen end­li­chen Flä­chen­in­halt hat (Ihr wisst schon: π×r², wobei r der Radi­us des Krei­ses ist, der sei­ner­seits eine erkenn­bar end­li­che Län­ge hat). Wenn nun aber jede der For­men in der unend­li­chen Fol­ge, wie wir sie oben beschrie­ben haben, inner­halb die­ses Krei­ses mit end­li­cher Flä­che liegt, müs­sen sie alle­samt eben­falls eine end­lich gro­ße Flä­che haben, denn eine unend­lich gro­ße Flä­che kann nicht in einer end­lich gro­ßen Flä­che ent­hal­ten sein.

Ist doch klar – oder? Nein? Aldä: wenn passt kon­krret in end­li­sche Sache rrein, kann nix unend­lisch grross sein!

Man kann die End­lich­keit des Flä­chen­in­halts der Koch-Flo­cke natür­lich auch alge­bra­isch bewei­sen. Aber das will hier garan­tiert kei­ner von Euch sehen.

Für die Man­del­brot­men­ge ist die Unend­lich­keit ihrer Rand­län­ge nicht so offen­sicht­lich. Das Prin­zip, auf­grund des­sen sie einen unend­lich lan­gen Rand hat, ist jedoch letzt­lich das­sel­be, wie soeben für die Koch-Flo­cke gezeigt. Trotz­dem irgend­wie erstaun­lich, oder?

Dra­chen, Zep­ter und Seepferdchen

Jetzt aber mal wie­der zurück zu den visu­el­len Rei­zen der Man­del­brot­men­ge. Die vie­len Nerds, die im Lau­fe der Jah­re auf Ent­de­ckungs­rei­se in die Man­del­brot­men­ge ein­ge­taucht sind, haben sich die Mühe gemacht, eini­gen Regio­nen des Apfel­männ­chens kon­kre­te Namen zu geben, die von den visu­el­len Eigen­hei­ten der jewei­li­gen Regi­on inspi­riert wur­den. Eines davon ist bei­spiels­wei­se das soge­nann­te „Seahor­se Val­ley” („See­pferd­chen­tal”), in das wir mit fol­gen­der Ani­ma­ti­on ein­tau­chen wollen:

Mal abge­se­hen von den vie­len klei­nen Satel­li­ten („Mini­bro­ten”), denen wir andau­ernd wie­der begeg­nen, fällt auf, dass die allent­hal­ben domi­nie­ren­den Schnör­kel star­ke Ähn­lich­keit mit der Sei­ten­an­sicht eines See­pferd­chens haben:

Gar nicht so weit vom Seahor­se Val­ley ent­fernt befin­det sich das soge­nann­te „Dra­gon Val­ley” („Dra­chen­tal”), das wir uns in fol­gen­dem Clip mal näher anse­hen wollen:

Die hier anzu­tref­fen­den Mus­ter erin­nern stark an die all­seits bekann­ten klas­si­schen Dar­stel­lun­gen chi­ne­si­scher Drachen:

In unmit­tel­ba­rer Nähe des Dra­gon Val­leys liegt das soge­nann­te „Scep­ter Val­ley” („Zep­ter­tal”), das in fol­gen­der Ani­ma­ti­on erkun­det wird:

Cha­rak­te­ris­tisch sind hier die über­all her­aus­ra­gen­den ver­schnör­kel­ten Spit­zen, die an die reich­hal­ti­gen Ver­zie­run­gen an den Köp­fen könig­li­cher Zep­ter erinnern:

Tat­säch­lich ist es so, dass jede Regi­on der Man­del­brot­men­ge ihre ganz eige­nen visu­el­len Erschei­nun­gen her­vor­bringt, die sich zwar alle irgend­wie ähneln, den­noch aber nie­mals iden­tisch zu ande­ren Regio­nen sind. Und das wirk­lich Fan­tas­ti­sche dar­an ist der Umstand, dass man immer und immer wie­der auf neue Form­va­ria­tio­nen stößt, wenn man tie­fer in die Details der Man­del­brot­men­gen­dar­stel­lung eintaucht.

Struk­tu­rel­le Geheimnisse

Wie aber ent­ste­hen all die­se For­men? Es ist ja nicht so, dass sich hier irgend­je­mand bewusst ein Sche­ma zur Erzeu­gung der­art vari­an­ten­rei­cher, kom­ple­xer For­men aus­ge­dacht hat. Viel­mehr ergibt sich die­ser For­men­reich­tum aus unver­rück­ba­ren Gesetz­mä­ßig­kei­ten, die dem mathe­ma­ti­schen Prin­zip der Man­del­brot­men­ge impli­zit inne­woh­nen – und zwar ganz ohne dass irgend­je­mand die Man­del­brot­men­ge bewusst mit die­sen Eigen­schaf­ten oder gar zu die­sem Zweck defi­niert hät­te. Es offen­ba­ren sich hier hoch­gra­dig ver­blüf­fen­de Struk­tu­ren, die man der simp­len For­mel, mit deren Hil­fe die Man­del­brot­men­ge defi­niert ist, schlicht­weg weder ange­se­hen noch zuge­traut hätte.

Erin­nern wir uns noch­mals: all die­se For­men enste­hen aus der Abbruch­an­zahl der fort­ge­setz­ten Durch­läu­fe durch unse­ren Man­del­brot­trans­for­ma­tor, die für jedes Pixel der hier gezeig­ten Bil­der ein­zeln fest­ge­stellt wird. Dabei geschieht nichts ande­res, als mit Null begin­nend fort­lau­fend die jeweils zuletzt aus­ge­ge­be­ne Zahl mit sich selbst zu mul­ti­pli­zie­ren und die vor­ein­ge­stell­te Zahl (die dem gera­de unter­such­ten Pixel zuge­ord­net ist) zum Ergeb­nis die­ser Mul­ti­pli­ka­ti­on hin­zu­zu­ad­die­ren. Wie also kann es sein, dass so ein schlich­ter Vor­gang der­art wun­der­sa­me, unend­lich varia­tio­nen­rei­che Struk­tu­ren hervorbringt?

Ein Ansatz­punkt zum Ver­ständ­nis die­ses Varia­tio­nen­reich­tums ist das Prin­zip der fort­wäh­ren­den Wie­der­ho­lung (Ite­ra­ti­on), mit deren Hil­fe die Zuge­hö­rig­keit einer Zahl zur Man­del­brot­men­ge ja bestimmt wird. Schlicht und sim­pel ist näm­lich eigent­lich nur der ein­zel­ne Berech­nungs­schritt (ein­ge­ge­be­ne Zahl mit sich selbst mul­ti­pli­zie­ren, Test­zahl hin­zu­ad­die­ren und das Ergeb­nis aus­ge­ben). Wäh­rend man sich für so eine recht ein­fa­che Ein­zel­rech­nung noch ganz gut vor­stel­len kann, was unge­fähr dabei her­aus­kom­men wird, ist es kaum noch vor­her­seh­bar, was nach zwei oder gar drei Durch­läu­fen her­aus­kom­men wird. Und nach hun­dert, tau­send oder einer Mil­li­ar­de Durch­läu­fen natür­lich erst recht nicht.

Das Gan­ze hat gewis­se Ähn­lich­kei­ten mit dem all­seits bekann­ten „Stil­le-Post-Prin­zip”: jeder Ein­zel­ne gibt den ihm zuge­flüs­ter­ten Satz auf­grund mög­li­cher Ver­ständ­nis­pro­ble­me mit leich­ten Ver­än­de­run­gen an die nächs­te Per­son wei­ter. Die­se ein­zel­ne Ver­än­de­rung ist meist noch sehr nahe bei dem, was man tat­säch­lich zuge­flüs­tert bekom­men hat. Nach ein paar Durch­läu­fen die­ser Art ist aber kaum noch etwas vom ursprüng­li­chen Satz übrig und nie­mand kann vor­her­sa­gen, was beim Letz­ten in der Rei­he ankom­men wird.

 

Bei den Durch­läu­fen durch den Man­del­brot-Trans­for­ma­tor ist es ähn­lich: der ein­zel­ne Berech­nungs­schritt ist sim­pel und (rela­tiv gut) vor­her­seh­bar, gleich­wohl das Rech­nen mit kom­ple­xen Zah­len an sich schon kein gar so simp­ler Vor­gang mehr ist (wer das genau­er ver­ste­hen will, sei auf mei­nen eigens zum Rech­nen mit kom­ple­xen Zah­len ver­fass­ten Blog­bei­trag ver­wie­sen). Was aber nach mehr­fa­cher Hin­ter­ein­an­der­aus­füh­rung sol­cher Berech­nun­gen her­aus­kommt, ist alles ande­re als intui­tiv vorhersehbar.

Jetzt haben wir also eine Idee dazu ent­wi­ckelt, war­um es schwer vor­her­seh­bar ist, was nach einer gewis­sen Anzahl an Trans­for­ma­tor­durch­läu­fen für eine vor­ge­ge­be­ne Zahl her­aus­kom­men wird. Wenn es jedoch tat­säch­lich so ist, dass für jedes Pixel eine der­art unvor­her­seh­ba­re Abbruch­an­zahl ent­steht, soll­te man doch mei­nen, dass man ein ziem­lich chao­ti­sches Bild zu erwar­ten hät­te, wenn man sich die Abbruch­an­zah­len benach­bar­ter Bild­punk­te neben­ein­an­der ansieht. Dem ist aber, wie wir oben gese­hen haben, eben gera­de nicht so. Viel­mehr ent­ste­hen die­se unglaub­lich regel­mä­ßig und den­noch vari­an­ten­reich struk­tu­rier­ten For­men, die also alles ande­re als chao­tisch und belie­big aus­se­hen. Um das noch­mals in aller Deut­lich­keit zu illus­trie­ren, habe ich Euch zwei wei­te­re Bil­der gene­riert, die jeweils ver­blüf­fen­de For­men aus dem uner­schöpf­li­chen Reser­voir des Apfel­männ­chens zeigen:

Hier sieht man einen Satel­li­ten (ein „Mini­brot”) inmit­ten einer Struk­tur, die auf­fäl­lig an die far­ben­präch­ti­ge Blü­te einer frisch geöff­ne­ten Som­mer­blu­me erinnert.

Die­se Struk­tur erin­nert hin­ge­gen stark an einen Schmet­ter­ling – inklu­si­ve der „Füh­ler”, die am obe­ren Bild­rand in der Mit­te zu sehen sind.

Die gro­ße Fra­ge ist also, wel­che Gesetz­mä­ßig­keit sich hier in der zugrun­de­lie­gen­den Mathe­ma­tik ver­birgt, damit sol­che fas­zi­nie­ren­den Mus­ter ent­ste­hen kön­nen. Denn eines ist mal klar: wie auch immer die­se Gesetz­mä­ßig­keit aus­sieht – sie ist, wie oben mehr­fach betont, abso­lut kei­ne Design­vor­ga­be der Man­del­brot­men­ge gewe­sen. Tat­säch­lich ist sie viel­mehr erst durch die Mög­lich­keit zuta­ge getre­ten, die Man­del­brot­men­ge mit Hil­fe com­pu­ter­ge­stütz­ter Metho­den zu visua­li­sie­ren. Die Fest­stel­lung, dass die Abbruch­an­zah­len eine der­ar­tig geord­ne­te und den­noch unend­lich vari­an­ten­rei­che Struk­tur haben, ist also ein­deu­tig das Ergeb­nis einer zufäl­li­gen Ent­de­ckung und dem­nach gera­de nicht einer geziel­ten Ent­wick­lung. Eine sol­che Vor­ge­hens­wei­se war Mathe­ma­ti­kern bis zur Ent­de­ckung der Man­del­brot­men­ge ziem­lich fremd und ist seit­her unter dem Stich­wort „expe­ri­men­tel­le Mathe­ma­tik” bekannt geworden.

Also: was weiß man über die Gesetz­mä­ßig­kei­ten, nach der die visu­el­len Struk­tu­ren Man­del­brot­men­ge gebil­det werden?

For­men im Dunkeln

Die trau­ri­ge Wahr­heit: nicht all­zu viel. Obwohl – so trau­rig fin­de ich das auf den zwei­ten Blick dann auch wie­der nicht. Es hat doch irgend­wie auch etwas inspi­rie­rend Mys­ti­sches, dass unse­re Mathe­ma­tik nach der­zei­ti­gem Wis­sen­stand ech­te Geheim­nis­se birgt, die sich ihr so leicht nicht abtrot­zen las­sen. Man muss sich das wirk­lich noch­mals über­le­gen: all die fan­tas­ti­schen, unend­lich rei­chen For­men der Man­del­brot­men­ge sind das Pro­dukt einer voll­kom­men imma­te­ri­el­len Gedan­ken­kon­struk­ti­on. Schon allei­ne die kom­ple­xen Zah­len sind ja bereits reich­lich abs­trakt und haben abso­lut kein rea­les Äqui­va­lent in unse­rer all­täg­li­chen Erfah­rungs­welt. Aber die Defi­ni­ti­on und Berech­nung der Man­del­brot­men­ge sind wirk­lich Kon­struk­te, die ihr ein­sa­mes Dasein nur im mensch­li­chen Ver­stand und natür­lich in den Pro­zes­so­ren und Spei­cher­bau­stei­nen von Rech­nern fristen.

Und doch offen­ba­ren sie nicht nur unend­lich vari­an­ten­rei­che For­men son­dern las­sen vie­les von dem erken­nen, was uns dann doch wie­der aus unse­rer rea­len Erfah­rungs­welt bekannt vor­kommt – wie eben Dra­chen, See­pferd­chen und Schmet­ter­lin­ge. Aber auch die oft baum- oder can­yon­ar­ti­gen Ver­äs­te­lun­gen, die man allent­hal­ben in der Man­del­brot­men­ge ent­de­cken kann, las­sen ver­mu­ten, dass hier Gesetz­mä­ßig­kei­ten am Werk sind, die dann doch wie­der einen kla­ren Bezug zu unse­rer rea­len Welt haben:

Nicht umsonst hat Benoît Man­del­brot ja auf­grund der For­schun­gen an der Man­del­brot­men­ge und ande­rer frak­ta­ler Struk­tu­ren sein wohl berühm­tes­tes Buch geschrie­ben: „Die frak­ta­le Geo­me­trie der Natur” („The Frac­tal Geo­me­try of Natu­re“). Und den­noch ist bis­lang nur sehr ein­ge­schränkt ver­stan­den, war­um die kom­ple­xen Zah­len sich bezüg­lich der Abbruch­an­zah­len bei fort­ge­setz­ten Durch­läu­fen durch unse­ren Trans­for­ma­tor so ver­hal­ten, wie sie es tun.

Aber eini­ges weiß man dann doch über die Man­del­brot­men­ge, und so man­ches davon möch­te ich Euch natür­lich nicht vorenthalten:

Licht im Dunkeln

Also, was weiß man denn so über die Mandelbrotmenge?

Da wäre als ers­tes die Tat­sa­che, dass die Man­del­brot­men­ge zusam­men­hän­gend ist. Das bedeu­tet, dass sie nicht aus ein­zel­nen von­ein­an­der getrenn­ten Inseln besteht. Statt­des­sen kann man jeden belie­bi­gen Punkt der Men­ge von jedem ande­ren Punkt der Men­ge aus errei­chen, ohne die Men­ge dabei ver­las­sen zu müs­sen. Das ist kei­nes­wegs offen­sicht­lich. Gera­de wenn man sich die Satel­li­ten (Mini­bro­te) so anschaut, könn­te man mei­nen, dass Sie vom Haupt­kör­per der Men­ge los­ge­löst vor sich hin­schwe­ben. Sogar Man­del­brot selbst hat das zunächst ver­mu­tet, was vor allem dar­an liegt, dass die ihm sei­ner­zeit zur Ver­fü­gung ste­hen­de Visua­li­sie­rungs­tech­nik auf­grund der zu gerin­gen Bild­auf­lö­sung die Satel­li­ten in der Tat als abge­trenn­te Regio­nen hat erschei­nen las­sen. Tat­säch­lich sind sie aber alle­samt, wie bereits erwähnt, durch eine unend­lich dün­ne, sehr fili­gra­ne aber eben doch exis­ten­te Linie mit dem Haupt­kör­per ver­bun­den. Die­se Line schlän­gelt sich immer in den „Hin­tern” der Satel­li­ten (jaja ich weiß, kein Kopf­ki­no, ist ja gut):

Den mathe­ma­ti­schen Beweis dafür, dass die Man­del­brot­men­ge zusam­men­hän­gend ist, haben die bei­den Mathe­ma­ti­ker  Adri­en Dady­ou und John Hamal Hub­bard im Jah­re 1984 erbracht. Sie haben über­haupt die ers­ten inten­si­ven For­schun­gen an der Man­del­brot­men­ge durch­ge­führt und ihnen ist es übri­gens auch zu ver­dan­ken, dass die Man­del­brot­men­ge nach Benoît Man­del­brot benannt wurde.

Bekannt ist auch, dass der Haupt­kör­per eben­so wie jeder Satel­lit sich immer aus einer gro­ßen Kar­dio­ide (die herz­ar­ti­ge Struk­tur, die den pro­mi­nen­tes­ten Teil der Man­del­brot­men­ge bil­det) und lau­ter angren­zen­den Krei­sen („Knos­pen”) zusam­men­setzt, die ihrer­seits von Krei­sen umge­ben sind und so weiter:

Jeder die­ser Berei­che (also die Kar­dio­ide, jede ihrer Knos­pen, jede Knos­pe an jeder Knos­pe usw.) steht für eine bestimm­te Anzahl an soge­nann­ten „Attrak­to­ren” um wel­che sich die nach­ein­an­der erzeug­ten Aus­ga­be­wer­te des Man­del­brot­trans­for­ma­tors für jeden Punkt inner­halb des betrach­te­ten Bereichs gruppieren.

Hä – was bit­te? Wer soll den die­sen Satz verstehen?

Ok, ok. Was damit gemeint sein soll, sei an fol­gen­den Bei­spie­len illustriert:

Zunächst schau­en wir uns mal die ers­ten 100 Zah­len an, die unser Man­del­brot-Trans­for­ma­tor aus­gibt, wenn man ihn auf die Zahl -1+0,25×i ein­stellt. Die­se Zahl liegt im „Kopf” des Apfel­männ­chens und ist in fol­gen­der Über­sicht als roter Punkt zu sehen:

Wir sind die­ser Zahl übri­gens mal in der Ani­ma­ti­on begeg­net, mit deren Hil­fe ich die Funk­ti­ons­wei­se des Man­del­brot-Trans­for­ma­tors im sechs­ten Teil der hie­si­gen Bei­trags­se­rie ver­an­schau­li­chen wollte.

Wenn man den Trans­for­ma­tor jetzt also mit -1+0,25×i als Vor­ein­stel­lung los­lau­fen lässt (also gera­de so, wie es in besag­ter Ani­ma­ti­on zu sehen ist) und die ers­ten 100 Aus­ga­be­zah­len nach­ein­an­der als Kreuz­chen in einem Koor­di­na­ten­sys­tem ein­trägt, ergibt sich fol­gen­des Bild:

Die grü­nen Kreu­ze (×) zei­gen die­se Zah­len an. Die bei­den oran­gen Punk­te (•) habe ich ein­ge­fügt, um zu ver­deut­li­chen, dass die grü­nen Kreu­ze sich um die­se bei­den Punk­te zu grup­pie­ren schei­nen – fast so, als wür­den sie magisch von ihnen ange­zo­gen. Genau aus die­sem Grun­de nennt man die oran­gen Punk­te denn auch „Attrak­to­ren” – sie sind qua­si „Attrak­ti­ons­punk­te” für die Aus­ga­be­wer­te des Transformators.

Im vor­lie­gen­den Fall haben wir offen­bar genau zwei sol­cher Attrak­to­ren. Das ist auch in der Tat für alle Punk­te im Inne­ren des „Kopf­krei­ses” der Man­del­brot­men­ge der Fall. Für jeden Punkt inner­halb der Kar­dio­ide haben wir hin­ge­gen immer nur genau einen Attrak­tor, wäh­rend wir für alle Punk­te in den bei­den „Flü­gel­knos­pen” (also die bei­den gro­ßen Krei­se oben und unten an der Kar­dio­ide) immer drei Attrak­to­ren haben. Nach­ste­hend habe ich mal für die pro­mi­nen­tes­ten Kom­po­nen­ten der Man­del­brot­men­ge die Men­ge der Attrak­to­ren ein­ge­zeich­net, die sich für alle Punk­te inner­halb der jewei­li­gen Kom­po­nen­te ergeben:

Fas­zi­nie­ren­der Wei­se kann man die Anzahl der Attrak­to­ren für die jewei­li­ge Kom­po­nen­te auch direkt an der Visua­li­sie­rung selbst able­sen. Betrach­ten wir uns dazu den obe­ren der bei­den „Flü­gel”, inner­halb des­sen ja laut obi­ger Über­sicht jeder Punkt drei Attrak­to­ren für sei­ne Trans­for­ma­tor-Aus­ga­be­fol­ge hat. In der fol­gen­den Visua­li­sie­rung habe ich Euch den Flü­gel ver­grö­ßert dar­ge­stellt und die Haupt­äs­te an sei­nem „Geweih” von eins bis drei mit roten Zah­len durchnummeriert:

Jawohl, rich­tig erkannt: drei Äste – drei Attrak­to­ren. Dem­entspre­chend schau­en wir uns im sel­ben Bild die gro­ße Knos­pe links unter­halb des „Flü­gels” an, inner­halb derer laut obi­ger Über­sicht alle Punk­te fünf Attrak­to­ren in ihrer Trans­for­ma­tor­aus­ga­be­fol­ge haben. Und oh Wun­der: ihr „Geweih” hat fünf Haupt­äs­te, die wir in Grün durch­num­me­riert haben: fünf Äste – fünf Attrak­to­ren. Sel­bi­ges gilt auch für die gro­ße Knos­pe rechts unter dem „Flü­gel”. Bei ihr waren es vier Attrak­to­ren und sie hat auch tat­säch­lich vier Haupt­äs­te in ihrem „Geweih” – im obi­gen bild mit gel­ben Zah­len durchnummeriert.

Auf die­sem Wege kann man in der Tat für alle direkt an der Kar­dio­ide angren­zen­den Knos­pen bestim­men, wie vie­le Attrak­to­ren die Trans­for­ma­tor­aus­ga­be­fol­gen für alle Zah­len inner­halb der jewei­li­gen Knos­pe haben. Aller­dings wird das zuneh­mend schwie­ri­ger, je klei­ner die Knos­pen wer­den, da die „Gewei­he” dann irgend­wann eine der­art ver­schnör­kel­te Gestalt anneh­men, dass man die Äste kaum noch ver­nünf­tig zäh­len kann.

Übri­gens: die Zah­len in den Trans­for­ma­tor-Aus­ga­be­fol­gen lie­gen um so näher an ihren Attrak­to­ren, je näher die betrach­te­te Aus­gangs­zahl am Mit­tel­punkt ihrer Knos­pe liegt. Soll hei­ßen: eine Zahl, die genau im Mit­tel­punkt einer Knos­pe liegt, hat nur die Attrak­to­ren selbst in ihrer Aus­ga­be­fol­ge – bei zwei Attrak­to­ren wären das genau zwei Zah­len. Eine sol­che haben wir im sechs­ten Teil die­ser Bei­trags­se­rie bei der Dis­kus­si­on der Zuge­hö­rig­keits­kri­te­ri­en zur Man­del­brot­men­ge ken­nen­ge­lernt: es ist die ‑1 (also genau genom­men die -1+0×i). Ihre Aus­ga­be­fol­ge bestand aus 0, ‑1, 0, ‑1, 0, ‑1 und so wei­ter. Und sie liegt denn auch genau in der Mit­te des Apfel­männ­chen­kop­fes, inner­halb des­sen ja laut obi­ger Über­sicht immer zwei Attrak­to­ren entstehen:

Damit hat die Aus­ga­be­fol­ge für ‑1 also die bei­den Attrak­to­ren 0 und ‑1 und alle wei­te­ren Zah­len in der Aus­ga­be­fol­ge lie­gen exakt auf die­sen Attrak­to­ren. Je wei­ter man sich inner­halb des Kop­fes von die­sem Mit­tel­punkt weg­be­wegt, des­to stär­ker streu­en sich die Zah­len in der zum jeweils betrach­te­ten Punkt gehö­ren­den Aus­ga­be­fol­ge um die zwei zuge­hö­ri­gen Attrak­to­ren. Ein Bei­spiel dafür haben wir oben für die Zahl -1+0,25×i gese­hen, die ja auch noch inner­halb des Kop­fes aber ziem­lich am Rand des­sel­ben liegt. Die nach­fol­gend wie­der als grü­ne Kreu­ze (×) dar­ge­stell­ten Wer­te der Aus­ga­be­fol­ge für den auf -1+0,25×i vor­ein­ge­stell­ten Man­del­brot-Trans­for­ma­tor lie­gen ziem­lich weit ver­streut um die bei­den als oran­ge Punk­te (•) dar­ge­stell­ten Attraktoren:

Wer von Euch sich das mit der Lage der Attrak­to­ren zu ver­schie­de­nen Punk­ten der Man­del­brot­men­ge genau­er anse­hen will, kann das unter fol­gen­dem Link tun: https://www.openprocessing.org/sketch/77478. Dort sieht man zunächst eine grau schat­tier­te Dar­stel­lung der Man­del­brot­men­ge. Bewegt man den Maus­zei­ger oder (bei Touch­screens) den Fin­ger an einen bestimm­ten Punkt der Men­ge, so erschei­nen dann für die Zahl, die dem Punkt unter dem Maus­zei­ger oder dem Fin­ger ent­spricht, die ers­ten 200 Wer­te der Trans­for­ma­tor-Aus­ga­be­fol­ge – und zwar als wei­ße Punk­te, die jeweils dort zu sehen sind, wo die ihnen ent­spre­chen­de Zahl in der kom­ple­xen Ebe­ne ver­or­tet ist. Pro­biert doch mal aus, Euch lang­sam von der Mit­te einer Knos­pe in ihren Rand­be­reich zu bewe­gen. Man kann dann sehr ein­drucks­voll sehen, wie die wei­ßen Punk­te wäh­rend der Bewe­gung immer wei­ter auseinanderdriften.

Pro­bie­ren geht über Studieren

Über­haupt muss man ja sagen, dass sich einem nicht nur die Sache mit den Attrak­to­ren, son­dern natür­lich vor allem die Man­del­brot­men­ge an sich und die unglaub­li­che Fas­zi­na­ti­on, die von ihr aus­geht, am aller­bes­ten erschließt, wenn man sich selbst auf akti­ve For­schungs­rei­se in die Tie­fen des Apfel­männ­chens begibt. Dafür gibt es eini­ges an frei erhält­li­cher Soft­ware für die unter­schied­lichs­ten Platt­for­men. Ich selbst habe eini­ge davon im Zusam­men­hang mit der hie­si­gen Bei­trags­se­rie ver­wen­det, so dass ich Euch ein paar erfah­rungs­ba­sier­te Emp­feh­lun­gen geben kann. Doch zuvor muss ich dezi­diert zur Vor­sicht mahnen:

Die blo­ße Tat­sa­che, dass man beim Erfor­schen der Man­del­brot­men­ge im Prin­zip nie an ein defi­nier­tes Ende der vir­tu­el­len Tauch­fahr­ten gelan­gen kann, sorgt nicht sel­ten dafür, dass man sich einem schier unwi­der­steh­li­chen Drang aus­ge­setzt sieht, stän­dig neue Aus­schnit­te des gera­de eben erst ver­grö­ßer­ten Bereichs anse­hen zu wol­len. Es ist halt ein­fach so, dass die Man­del­brot­men­ge unend­lich kom­plex struk­tu­riert ist. Man erkauft sich daher die detail­lier­te­re Dar­stel­lung eines kon­kre­ten Aus­schnitts dadurch, dass neue Struk­tu­ren zuta­ge tre­ten, die einen gera­de­zu sire­nen­gleich dazu ver­füh­ren zu wol­len schei­nen, sie ihrer­seits genau­er zu inspi­zie­ren. Macht mich jetzt also bit­te nicht dafür ver­ant­wort­lich, dass Ihr Euch in nächs­ter Zeit  gan­ze Näch­te damit um die Ohren schlagt, Euch vom unwi­der­steh­li­chen Sog ihrer Ästhe­tik auf Nim­mer­wie­der­se­hen in die end­lo­sen Tie­fen der Man­del­brot­men­ge hin­ein­zie­hen zu lassen.

Na schön, soweit der Dis­clai­mer. Wer es jetzt trotz­dem dar­auf ankom­men las­sen will, der lese ger­ne weiter.

Also fan­gen wir mal an: auf Desk­top­ge­rä­ten kann man ers­te Geh­ver­su­che bei der Erfor­schung der Man­del­brot­men­ge mit Hil­fe fol­gen­der Web­sei­te direkt im Brow­ser machen: http://stefanbion.de/fraktal-generator/mandelbrot.htm. Die Sei­te selbst war­tet mit aus­führ­lichs­ten Erläu­te­run­gen zur Bedie­nung des dort als „Frakt­al­gra­fik-Gene­ra­tor” bezeich­ne­ten Visua­li­sie­rungs-Tools von Ste­fan Bion auf. Wer mei­ne hie­si­ge Bei­trags­se­rie auf­merk­sam gele­sen hat, soll­te kei­ne all­zu gro­ßen Schwie­rig­kei­ten haben, die Erläu­te­run­gen zu verstehen.

Größ­ter Nach­teil von Bions Gene­ra­tor ist dabei die Tat­sa­che, dass er nur mit der ein­ge­bau­ten Rechen­ge­nau­ig­keit des Rech­ners arbei­tet, auf dem er gera­de läuft. Das führt dazu, dass man ab einer gewis­sen Ver­grö­ße­rungs­stu­fe nur noch gro­be Pixel sieht, so dass man rela­tiv schnell ans Ende der Mög­lich­kei­ten die­ses ansons­ten sehr gelun­ge­nen Gene­ra­tors gelangt. Immer­hin rech­net er zumin­dest mal mäßig flott und sei­ne Bedie­nung ist wirk­lich sehr gut im Text­teil beschrieben.

Deut­lich schnel­ler rech­net Michał Męciń­skis Pro­gramm „Fraq­ti­ve”, das unter fol­gen­dem Link für Win­dows, MacOS und Linux her­un­ter­ge­la­den wer­den kann: https://fraqtive.mimec.org/. Mit die­sem Pro­gramm habe ich z.B. das obi­ge Titel­bild zu die­sem Bei­trag gene­riert. Es ist ziem­lich flott unter­wegs, erlaubt sogar, eige­ne Zoom-Ani­ma­tio­nen zu erstel­len und ist immer noch recht ein­fach zu bedie­nen. Die Hil­fe-Funk­ti­on, die über den blau­en Knopf mit dem Fra­ge­zei­chen rechts oben im Pro­gramm­fens­ter zu errei­chen ist, hal­te ich für eini­ger­ma­ßen brauch­bar. Der Rest erschließt sich am bes­ten durch Her­um­pro­bie­ren. Nach­teil ist aber auch hier die Begren­zung auf die ein­ge­bau­te Rechen­ge­nau­ig­keit, so dass auch bei Fraq­ti­ve frü­her oder spä­ter nur noch gro­be Pixel erschei­nen, wenn man weit genug in das Apfel­männ­chen hineinzoomt.

Wer von Euch hin­ge­gen mal so rich­tig den Nerd machen will, der kann sich natür­lich auch das von Karl Run­mo ent­wi­ckel­te Pro­gramm „Kal­les Frak­ta­ler” unter fol­gen­dem Link für Win­dows her­un­ter­la­den: http://www.chillheimer.de/kallesfraktaler/. Mit ihm wur­den ins­be­son­de­re das Teaser-Video aus dem ers­ten Teil die­ser Bei­trags­se­rie aber auch unzäh­li­ge ande­re auf You­Tube ein­seh­ba­re Ani­ma­tio­nen erzeugt, und er darf wohl als das Flagg­schiff unter den Man­del­brot-Gene­ra­to­ren gel­ten. Aller­dings ist der Frak­ta­ler nun wahr­lich kein Pro­gramm für Green­horns, denn man muss sich sei­ne Bedie­nung wei­test­ge­hend selbst erar­bei­ten. Zwar wer­den auf der Web­site ein paar rudi­men­tä­re Wor­te über den Sinn der vie­len Ein­stel­lungs­mög­lich­kei­ten ver­lo­ren, aber wirk­lich erhel­lend ist das alles nicht.

Dafür arbei­tet der Frak­ta­ler mit den im sieb­ten Teil mei­ner Bei­trags­se­rie ange­deu­te­ten Opti­mie­run­gen, die es erlau­ben, prak­tisch unbe­grenzt tief in die Man­del­brot­men­ge ein­zu­tau­chen. Wer will, kann damit zudem sogar eige­ne Ani­ma­tio­nen erzeu­gen, für dies auf Ber­nard „Chill­hei­mer” Gei­gers Web­site einen Link auf ein ent­spre­chen­des Videoer­zeu­gungs-Tool namens „KeyFramesMovie64” gibt. Das alles ist aber – wie bereits aus­ge­führt – nichts für infor­ma­ti­ons­tech­no­lo­gi­sche Weich­ei­er und inso­weit nur ein­ge­schränkt zum „Her­um­spie­len” geeig­net. Wer von Euch sich hin­ge­gen ernst­haft mit der Man­del­brot­men­ge aus­ein­an­der­set­zen will, der dürf­te damit gut auf­ge­ho­ben sein.

Etwas gefäl­li­ger und ähn­lich leis­tungs­fä­hig wie Kal­les Frak­ta­ler ist Botond Kósas „Man­del Machi­ne”, die unter fol­gen­dem Link für Win­dows her­un­ter­ge­la­den wer­den kann: http://web.t‑online.hu/kbotond/mandelmachine/. Mit ihr habe ich die obi­gen Ani­ma­tio­nen sowie eini­ge der in der hie­si­gen Bei­trags­se­rie gezeig­ten Bil­der her­ge­stellt. Auch die Man­del Machi­ne ist aber auf­grund ihrer kom­ple­xen Benut­zungs­ober­flä­che nichts für die IT-Aver­sen unter Euch. Dafür ist sie immer­hin recht flott unter­wegs und erlaubt mit ihren kom­ple­xen Ein­stel­lungs­mög­lich­kei­ten eine sehr prä­zi­se Steue­rung des Visua­li­sie­rungs­vor­gangs. Vor allem kann man mit ihr auf­grund der ver­wen­de­ten Opti­mie­rungs­ver­fah­ren prak­tisch unend­lich tief in die Man­del­brot­men­ge vor­drin­gen. Außer­dem erlaubt die­ses Pro­gramm die Ver­zie­rung der Man­del­brot-Visua­li­sie­run­gen mit Hil­fe soge­nann­ter „Tex­tu­ren” (hier kon­kret: das soge­nann­te „Bump Map­ping”), die den Dar­stel­lun­gen eine Art schein­ba­res Reli­ef auf­set­zen, so dass sich damit wirk­lich sehr anseh­li­che Bil­der erzeu­gen lassen:

Größ­ter Nach­teil der Man­del Machi­ne sind aller­dings das Feh­len jeg­li­cher Doku­men­ta­ti­on und die gele­gent­li­chen Pro­gramm­ab­stür­ze, die ich bei der recht inten­si­ven Nut­zung die­ser Soft­ware bis­wei­len beob­ach­ten durf­te. Klei­ner Tipp: die Man­del Machi­ne muss unter Win­dows „als Admi­nis­tra­tor” gestar­tet wer­den, sonst kann sie ihre umfang­rei­chen Log-Datei­en nicht im Pro­gramm­ver­zeich­nis ablegen.

Für iOS habe ich mir fast alle der im App­S­to­re erhält­li­chen kos­ten­lo­sen Man­del­brot-Apps ange­se­hen. Am bes­ten gefal­len haben mir „Deep Jour­ney” und „Fast Frac­tal”. „Deep Jour­ney” wur­de lei­der zum Zeit­punkt der Erstel­lung die­ses Bei­trags bereits – war­um auch immer – aus dem App­S­to­re ent­fernt, aber „Fast Frac­tal” könnt Ihr auf Eurem iOS-Gerät instal­lie­ren, wenn Ihr hier­auf klickt. Bei­de Pro­gram­me kön­nen nur auf die im jewei­li­gen iOS-Gerät ein­ge­bau­te Rechen­ge­nau­ig­keit zurück­grei­fen, wobei „Deep Jour­ney” ab einer bestimm­ten Ver­grö­ße­rungs­stu­fe in eine Art „SLOW”-Modus umschal­tet, der wohl so heißt, weil die App ab dann erkenn­bar lang­sa­mer rech­net. Ich ver­mu­te dahin­ter eine Art selbst­ge­strick­ter Gleit­kom­marith­me­tik. Den­noch gelangt man auch in „Deep Jour­ney” eben­so wie in „Fast Frac­tal” nach nicht all­zu lan­ger Zeit an ein recht jähes Ende der Zoo­me­rei. Aber für den klei­nen Man­del­brot-Snack zwi­schen­durch sind bei­de bes­tens geeignet.

Und was jetzt?

Tja Ihr Lie­ben, eigent­lich ist das doch ein guter Schluss­punkt für mei­ne Bei­trags­se­rie: ich habe Euch fünf Bei­trä­ge lang mit Zah­len­theo­rie zuge­la­bert, etli­che Zusatz­bei­trä­ge auf­ge­setzt, um eini­ge der dabei ange­spro­che­nen The­men zu ver­tie­fen und nun­mehr drei Bei­trä­ge lang über die Defi­ni­ti­on, die Visua­li­sie­rung und die vie­len Eigen­schaf­ten der Man­del­brot­men­ge doziert sowie Euch einen klei­nen Ein­blick in die Natur ihrer visu­el­len Fas­zi­na­ti­on ver­schafft. Zu guter Letzt habe ich Euch dann mit die­ser geball­ten Ladung an Erkennt­nis­sen und Ein­sich­ten gewapp­net ins selb­stän­di­ge Expe­ri­men­tie­ren mit dem Apfel­männ­chen ent­las­sen. So ist es doch irgend­wie rund, oder?

Auf jeden Fall vie­len Dank für Eure Geduld, die ich zwei­fel­los mehr als ein­mal bis an die Zumut­bar­keits­gren­zen stra­pa­ziert haben dürf­te. Ich hof­fe indes­sen, dass Euch das trotz­dem ein biss­chen Spaß gemacht hat und es mir gelun­gen ist, Euch mei­ne Fas­zi­na­ti­on für die­ses Wun­der­werk der expe­ri­men­tel­len Mathe­ma­tik nahe­zu­brin­gen. Über­haupt ist die Man­del­brot­men­ge ein guter Ein­stieg für die Ver­mitt­lung der Fas­zi­na­ti­on für Mathe­ma­tik an sich. Mit den oben vor­ge­stell­ten Pro­gram­men kann man sich ja eigent­lich auch ohne gro­ße Vor­kennt­nis­se an der bestechen­den Schön­heit der Man­del­brot­men­ge erfreu­en, bevor man dann viel­leicht doch irgend­wann neu­gie­rig wird und wis­sen will, welch aus­ge­klü­gel­te Mecha­nik es wohl sein mag, die in die­sem ästhe­ti­schen Feu­er­werk tat­säch­lich zum Aus­druck gelangt. Denn die Man­del­brot­men­ge ist in gewis­ser Hin­sicht nichts ande­res als eine beson­ders ein­drucks­vol­le Mög­lich­keit, die bestechen­de Schön­heit der Mathe­ma­tik zu erken­nen. Da sind wir uns doch einig – oder?

Also ist jetzt (end­lich?) Schluss mit der Beitragsserie?

Nicht ganz. Es gehört sich ganz ein­fach noch, ein paar Wor­te über die His­to­rie der Man­del­brot­men­ge zu ver­lie­ren und die viel­fäl­ti­gen Impli­ka­tio­nen zu the­ma­ti­sie­ren, die ihre Ent­de­ckung und Erfor­schung sowohl inner­halb als auch außer­halb der mathe­ma­ti­schen Gemein­de hat­ten und immer noch haben. Daher wer­de ich die­se Serie mit einem neun­ten Bei­trag beschlie­ßen, in dem es um eben jene Geschich­te und die viel­fäl­ti­gen Aus­wir­kun­gen der Man­del­brot­men­gen-Ent­de­ckung gehen soll. Ihr dürft also ein letz­tes Mal gespannt bleiben…

Alles Lie­be

Dani­el